Em uma máquina de indução, a constante de torque k_{T \omega} (na eq. T_{\mathrm{em}}=k_{T \omega} \omega_{\mathrm{esc}}, \operatorname{com} k_{T \omega}=k_{\mathrm{t} \omega} \hat{B}_{\mathrm{ms}}^{2} ) e a resistência elétrica do rotor R_{\mathrm{r}}^{\prime} são especificadas. Calcule \hat{I}_{\mathrm{r}}^{\prime} em função de \omega_{\mathrm{esc}}, em termos de k_{T \omega} e R_{\mathrm{r}}^{\prime}, para torques abaixo do valor nominal. Suponha que a densidade de fluxo magnético no entreferro esteja em seu valor nominal. Dica: use a eq. T_{\mathrm{em}}=\frac{3 R_{\mathrm{r}}^{\prime}\left(I_{\mathrm{r} a}^{\prime}\right)^{2}}{\omega_{\mathrm{esc}}}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá-se a constante de torque k_{T\omega} (usada na relação \,T_{\mathrm{em}}=k_{T\omega}\,\omega_{\mathrm{esc}}\,).
  • Dá-se a resistência do rotor referida R_{\mathrm{r}}^{\prime}.
  • Dá-se também a relação auxiliar (dica) T_{\mathrm{em}}=\frac{3\,R_{\mathrm{r}}^{\prime}\left(I_{\mathrm{r}a}^{\prime}\right)^{2}}{\omega_{\mathrm{esc}}}.
  • Pede-se calcular \hat{I}_{\mathrm{r}}^{\prime} em função de \omega_{\mathrm{esc}}, em termos de k_{T\omega} e R_{\mathrm{r}}^{\prime}, para torques abaixo do nominal, supondo que o fluxo no entreferro esteja em valor nominal.

Passo 2

O que representam as variáveis (explicação didática curta):
  • T_{\mathrm{em}} é o torque eletromagnético (unidade: \mathrm{N\cdot m}).
  • \omega_{\mathrm{esc}} é a frequência angular de escorregamento (ou frequência elétrica de escorregamento) em \mathrm{rad/s}.
  • k_{T\omega} é a constante que liga torque a \omega_{\mathrm{esc}} quando o fluxo está nominal: T_{\mathrm{em}}=k_{T\omega}\,\omega_{\mathrm{esc}}.
  • R_{\mathrm{r}}^{\prime} é a resistência do rotor referida ao estator (unidade: \Omega).
  • I_{\mathrm{r}a}^{\prime} é a amplitude da corrente do rotor referida (unidade: A). O enunciado pede \hat{I}_{\mathrm{r}}^{\prime}; vou entender que \hat{I}_{\mathrm{r}}^{\prime} é essa amplitude (a mesma variável indicada na dica).
  • Condição usada: fluxo no entreferro constante (nominal) → k_{T\omega} é constante para a faixa considerada.

Passo 3

Escrevendo as duas expressões do torque (uma dada pelo enunciado, outra pela dica):
T_{\mathrm{em}}=k_{T\omega}\,\omega_{\mathrm{esc}}
e
T_{\mathrm{em}}=\frac{3\,R_{\mathrm{r}}^{\prime}\left(I_{\mathrm{r}a}^{\prime}\right)^{2}}{\omega_{\mathrm{esc}}}.
Como ambas representam o mesmo T_{\mathrm{em}}, podemos igualá-las.

Passo 4

Igualando as duas expressões e isolando \left(I_{\mathrm{r}a}^{\prime}\right)^{2}:
k_{T\omega}\,\omega_{\mathrm{esc}}=\frac{3\,R_{\mathrm{r}}^{\prime}\left(I_{\mathrm{r}a}^{\prime}\right)^{2}}{\omega_{\mathrm{esc}}}.
Multiplicando ambos os lados por \omega_{\mathrm{esc}}:
k_{T\omega}\,\omega_{\mathrm{esc}}^{2}=3\,R_{\mathrm{r}}^{\prime}\left(I_{\mathrm{r}a}^{\prime}\right)^{2}.
Agora isolamos o quadrado da corrente:
\left(I_{\mathrm{r}a}^{\prime}\right)^{2}=\frac{k_{T\omega}\,\omega_{\mathrm{esc}}^{2}}{3\,R_{\mathrm{r}}^{\prime}}.

Passo 5

Tomando raiz quadrada e escolhendo a raiz positiva (corrente de amplitude é não-negativa):
I_{\mathrm{r}a}^{\prime}=\sqrt{\frac{k_{T\omega}}{3\,R_{\mathrm{r}}^{\prime}}}\;\omega_{\mathrm{esc}}.
ou, usando a notação pedida,
\hat{I}_{\mathrm{r}}^{\prime}=\sqrt{\frac{k_{T\omega}}{3\,R_{\mathrm{r}}^{\prime}}}\;\omega_{\mathrm{esc}}.

Passo 6

Interpretação e observações práticas (rápida e útil para prova):
  • A corrente \hat{I}_{\mathrm{r}}^{\prime} cresce linearmente com \omega_{\mathrm{esc}} quando o fluxo é mantido nominal — isso significa que, para torques menores que o nominal (regime pedido), aumentar a escorregamento aumenta proporcionalmente a corrente do rotor.
  • A constante de proporcionalidade é \sqrt{k_{T\omega}/(3R_{\mathrm{r}}^{\prime})}. Para calcular numericamente, basta substituir k_{T\omega} e R_{\mathrm{r}}^{\prime} com suas unidades consistentes.
  • Escolheu-se a raiz positiva porque estamos trabalhando com amplitude de corrente (valor não-negativo). A fórmula é válida enquanto as hipóteses do enunciado se mantêm (fluxo nominal e torque abaixo do nominal).

Resposta

\displaystyle \hat{I}_{\mathrm{r}}^{\prime}=\sqrt{\frac{k_{T\omega}}{3\,R_{\mathrm{r}}^{\prime}}}\;\omega_{\mathrm{esc}}

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