Um motor CA indutivo, consome uma potência de 895 W (medida com wattímetro), quando ligado a plena carga em uma rede de 220 V de tensão, 60 Hz . A corrente medida no motor é de 5,1 \mathrm{~A}. A partir destas informações e sabendo que o motor é uma carga indutiva, calcule: a) o fator de potência atual da instalação; b) o capacitor necessário para corrigir o fator de potência para o mais próximo do unitário possível, assumindo que os valores comerciais dos capacitores são sempre múltiplos de 10 ; c) o novo fator de potência corrigido; d) a nova corrente drenada da fonte; e) a nova potência reativa drenada da fonte.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Tensão da rede: \,V=220\\ \text{V}.
  • Frequência: \,f=60\\ \text{Hz}.
  • Potência ativa medida (wattímetro): \,P=895\\ \text{W}.
  • Corrente medida no motor: \,I=5{,}1\\ \text{A}.
  • Observação: a carga é indutiva (fator de potência defasado para atraso).
O enunciado pede:
(a) o fator de potência atual da instalação;
(b) o capacitor necessário (valor comercial múltiplo de 10) para corrigir o fator de potência o mais próximo de 1 possível;
(c) o novo fator de potência após a correção;
(d) a nova corrente drenada da fonte após a correção;
(e) a nova potência reativa drenada da fonte após a correção.

Passo 2

Calcular a potência aparente inicial \,S e o fator de potência \text{pf}.
Explicação das fórmulas usadas:
  • Potência aparente em circuitos monofásicos: S = V\cdot I,
onde \,S é em volt-ampère (VA), \,V em volts e \,I em ampères.
  • Fator de potência (sem unidade) é a razão entre potência ativa e potência aparente: \text{pf}=\frac{P}{S}.
Cálculo:
S = 220\cdot 5{,}1 = 1122\\ \text{VA}.
\text{pf}=\frac{895}{1122}\approx 0{,}797.
Interpretação: o fator de potência atual é \,0{,}797 (defasado/lagging por ser carga indutiva).

Passo 3

Calcular a potência reativa inicial \,Q do motor (valor que a carga indutiva está consumindo).
Explicação das fórmulas:
  • Relação entre as potências em triângulo de potências: S^{2}=P^{2}+Q^{2}\quad\Rightarrow\quad Q=\sqrt{S^{2}-P^{2}}.
  • Alternativamente pode-se usar \,Q=P\tan\varphi com \varphi=\operatorname{arccos}(\text{pf}). Ambas dão o mesmo resultado.
Cálculos:
Q=\sqrt{1122^{2}-895^{2}}=\sqrt{1\,258\,884-801\,025}=\sqrt{457\,859}\approx 676{,}59\\ \text{var}.
Interpretação: a carga consome cerca de \,676{,}6\\ \text{var} reativos (lagging).

Passo 4

Determinar a capacitância necessária para anular essa potência reativa (correção até \text{pf}=1).
Explicação e fórmula:
  • Um capacitor em monofásico absorve (em módulo) potência reativa dada por Q_{C}=V^{2}\,\omega\,C = V^{2}\cdot 2\pi f \cdot C,
onde \,Q_{C} é em VAR, \,C em farads, \,f em hertz e \omega=2\pi f.
  • Para correção total até \text{pf}=1 (teórico), o módulo do reativo do capacitor deve igualar o reativo indutivo inicial: \,Q_{C}=Q.
  • Daí: C=\frac{Q}{V^{2}\cdot 2\pi f}.
Cálculo numérico:
V^{2}\cdot 2\pi f = 220^{2}\cdot 2\pi\cdot 60 \approx 48\,400\cdot 376{,}9911 \approx 18\,246\,364{,}4.
C=\frac{676{,}585}{18\,246\,364{,}4}\approx 3{,}7097\times 10^{-5}\\ \text{F}=37{,}10\\ \mu\text{F}.
Interpretação: a capacitância ideal contínua para correção total seria cerca de \,37{,}1\\ \mu\text{F}.

Passo 5

Ajuste para valores comerciais (múltiplos de 10) e escolha do melhor valor comercial.
Explicação: como os capacitores comerciais seguem múltiplos de 10\\ \mu\text{F}, os candidatos próximos são 30\\ \mu\text{F} e 40\\ \mu\text{F}. Vamos calcular o efeito de cada um e ver qual deixa o fator de potência mais próximo de 1.
Cálculo do reativo fornecido por cada capacitor:
  • Primeiro calcule Q_{C} para 40\\ \mu\text{F}:
Q_{C,40}=V^{2}\cdot 2\pi f\cdot 40\times10^{-6}\approx 18\,246\,364{,}4\cdot 40\times10^{-6}\approx 729{,}85\\ \text{var}.
  • Para 30\\ \mu\text{F} tem-se Q_{C,30}=0{,}75\cdot Q_{C,40}\approx 547{,}39\\ \text{var}.
Agora o reativo resultante (indutivo positivo, capacitivo negativo) e o novo fator de potência para cada escolha:
Para 30\\ \mu\text{F}:
Q_{\text{res,30}} = Q - Q_{C,30} \approx 676{,}59 - 547{,}39 = 129{,}20\\ \text{var}\\ (\text{lagging}).
S_{30}=\sqrt{P^{2}+Q_{\text{res,30}}^{2}}=\sqrt{895^{2}+129{,}20^{2}}\approx 904{,}28\\ \text{VA}.
\text{pf}_{30}=\frac{P}{S_{30}}=\frac{895}{904{,}28}\approx 0{,}989.
Corrente nova: I_{30}=\frac{S_{30}}{V}=\frac{904{,}28}{220}\approx 4{,}110\\ \text{A}.
Para 40\\ \mu\text{F}:
Q_{\text{res,40}} = Q - Q_{C,40} \approx 676{,}59 - 729{,}85 = -53{,}26\\ \text{var}.
O sinal negativo indica que a instalação ficaria com pequeno excesso capacitivo (leading) de \,53{,}26\\ \text{var}.
S_{40}=\sqrt{P^{2}+Q_{\text{res,40}}^{2}}=\sqrt{895^{2}+(-53{,}26)^{2}}\approx 896{,}59\\ \text{VA}.
\text{pf}_{40}=\frac{P}{S_{40}}=\frac{895}{896{,}59}\approx 0{,}998.
Corrente nova:
I_{40}=\frac{S_{40}}{V}=\frac{896{,}59}{220}\approx 4{,}075\\ \text{A}.
Comparação e escolha: \text{pf}_{40}\approx 0{,}998 está mais perto de 1{,}000 que \text{pf}_{30}\approx 0{,}989. Portanto o valor comercial múltiplo de 10 que torna o fator de potência o mais próximo de 1 é \,40\\ \mu\text{F}.

Passo 6

Apresentar os resultados finais (com interpretação física curta).
Resumo numérico (para a escolha final C=40\\ \mu\text{F}):
  • Capacitor escolhido: C=40\\ \mu\text{F}, que fornece Q_{C}\approx 729{,}85\\ \text{var}.
  • Reativo resultante da fonte: Q_{\text{res}} \approx -53{,}26\\ \text{var} (sinal negativo = pequena condição capacitiva, ou seja, a instalação passa a fornecer reativo ao sistema).
  • Potência aparente após correção: S_{\text{novo}}\approx 896{,}59\\ \text{VA}.
  • Novo fator de potência: \text{pf}_{\text{novo}}\approx 0{,}998 (leading).
  • Nova corrente da fonte: I_{\text{novo}}\approx 4{,}075\\ \text{A}.

Resposta

(a) \text{pf}_{\text{inicial}} \approx 0{,}797 (lagging)
(b) C_{\text{escolhido}} = 40\\ \mu\text{F} (valor comercial múltiplo de 10)
(c) \text{pf}_{\text{corrigido}} \approx 0{,}998 (leading)
(d) I_{\text{novo}} \approx 4{,}075\\ \text{A}
(e) Q_{\text{novo}} \approx -53{,}26\\ \text{var} (negativo = pequena potência reativa capacitiva)

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