Um motor síncrono, 20 polos, ligação estrela, 40 \mathrm{HP}, 660 \mathrm{~V}, 60 \mathrm{~Hz}, tem X_{s} igual a 10 \Omega / fase e R_{a} igual a 1 \Omega /fase. Com este motor operando com corrente de armadura igual a 3,32 \angle 3^{\circ} \mathrm{A}, calcule:
a) A força Contraeletromotriz - fcem;
b) A potência trifásica de entrada;
c) A perda na armadura;
d) A potência mecânica de saída.
а) E_{g}=381 \angle-5^{\circ} \mathrm{V} / fase;
b) P=3790 W;
с) P=33,06 \mathrm{~W};
d) P=3757 \mathrm{~W}

Passo 1

O enunciado dá um motor síncrono com as seguintes informações relevantes e pede quatro coisas. Vou listar tudo de forma clara para não nos perder:
  • Dados do motor: \text{pólos}=20,\quad \text{ligação}=\text{estrela},\quad 40\\ \mathrm{HP},\quad 660\\ \mathrm{V}\\ (\text{tensão de linha}),\quad 60\\ \mathrm{Hz}óçãã
X_s=10\\ \Omega/\text{fase},\quad R_a=1\\ \Omega/\text{fase}
I_a=3{,}32\angle 3^\circ\\ \mathrm{A}
  • O que pedir:
    a) calcular a força contra-eletromotriz (fcem) por fase, E_g;
    b) calcular a potência trifásica de entrada P_{in};
    c) calcular a perda na armadura (perdas ôhmicas no enrolamento da armadura);
    d) calcular a potência mecânica de saída P_{mech}.
Observação importante: a tensão dada 660\\ \mathrm{V} é a tensão de linha; como a ligação é em estrela, precisaremos usar a tensão de fase. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Calcular a tensão de fase (porque todos os cálculos por fase usam a tensão de fase). Em estrela:
V_{\text{fase}}=\frac{V_{\text{linha}}}{\sqrt{3}}=\frac{660}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{V}.
Vamos avaliar numericamente:
V_{\text{fase}}=\frac{660}{\sqrt{3}}\approx 381{,}05\\ \mathrm{V}.
Adotamos referência de fase tal que
V_{\text{fase}}=381{,}05\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}.

Passo 3

Escrever a equação fasorial que relaciona E_g, V_{\text{fase}}, a impedância série Z_s e a corrente de armadura I_a. Para um motor síncrono a convenção conveniente é:
V_{\text{fase}} = E_g + I_a Z_s,
ou, rearranjando para obter E_g,
E_g = V_{\text{fase}} - I_a Z_s.
Explicação didática curta: E_g é a fcem interna na máquina; ao atravessar os R_a e X_s temos uma queda de tensão I_a Z_s. A tensão terminal V_{\text{fase}} é a soma vetorial de E_g com essa queda; portanto E_g é V_{\text{fase}} menos a queda I_a Z_s. Essa forma é a correta para o caso de motor (para gerador a forma direta costuma ser V=E+I Z).
Aqui
Z_s = R_a + j X_s = 1 + j\,10\\ \Omega.

Passo 4

Calcular o produto I_a Z_s. Primeiro escrevo Z_s em módulo e argumento para facilitar a multiplicação com I_a:
|Z_s|=\sqrt{1^2+10^2}=\sqrt{101}\approx 10{,}0499,
\angle Z_s=\arctan\!\left(\frac{10}{1}\right)\approx 84{,}2894^\circ.
A corrente é I_a=3{,}32\angle 3^\circ. Portanto
I_a Z_s=3{,}32\cdot 10{,}0499 \angle(3^\circ+84{,}2894^\circ)=33{,}3676\angle 87{,}2894^\circ\\ \mathrm{V}.
Para facilitar a subtração com V_{\text{fase}} passo para forma retangular (coseno e seno):
I_a Z_s = 33{,}3676\cos(87{,}2894^\circ) + j\,33{,}3676\sin(87{,}2894^\circ).
Avaliações numéricas:
33{,}3676\cos(87{,}2894^\circ)\approx 1{,}577\\ \mathrm{V},
33{,}3676\sin(87{,}2894^\circ)\approx 33{,}33\\ \mathrm{V}.
Logo
I_a Z_s \approx 1{,}577 + j\,33{,}33\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Calcular E_g por fase usando E_g = V_{\text{fase}} - I_a Z_s. Em retangular:
V_{\text{fase}}=381{,}05 + j\,0\\ \mathrm{V},
E_g \approx (381{,}05 + j\,0) - (1{,}577 + j\,33{,}33) = 379{,}473 - j\,33{,}33\\ \mathrm{V}.
Agora converto para forma polar (módulo e ângulo):
|E_g|=\sqrt{379{,}473^2 + (-33{,}33)^2}\approx 380{,}85\\ \mathrm{V},
\angle E_g = \arctan\!\left(\frac{-33{,}33}{379{,}473}\right)\approx -5{,}02^\circ.
Arredondando de forma compatível com os valores esperados:
E_g \approx 381\angle -5^\circ\\ \mathrm{V\\ por\\ fase}.

Passo 6

Calcular a potência elétrica de entrada trifásica P_{in}. A potência ativa trifásica é dada por
P_{in}=3\Re\{V_{\text{fase}} I_a^*\},
onde I_a^* é o conjugado da corrente fasorial. Como V_{\text{fase}}=381{,}05\angle 0^\circ e I_a=3{,}32\angle 3^\circ, temos I_a^*=3{,}32\angle -3^\circ. O produto por fase é
S_{\text{fase}}=V_{\text{fase}}I_a^*=381{,}05\cdot 3{,}32\angle(-3^\circ)=1265{,}09\angle -3^\circ\\ \mathrm{VA}.
A potência ativa por fase é o real de S_{\text{fase}}:
P_{\text{fase}}=1265{,}09\cos(3^\circ)\approx 1263{,}30\\ \mathrm{W}.
Logo a potência trifásica:
P_{in}=3\cdot 1263{,}30\approx 3789{,}9\\ \mathrm{W}\approx 3790\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Calcular a perda ôhmica na armadura (perda em cobre do enrolamento da armadura). A perda por fase é
P_{cu,\text{fase}}=I_a^2 R_a.
Com I_a=3{,}32\\ \mathrm{A} e R_a=1\\ \Omega,
P_{cu,\text{fase}}=(3{,}32)^2\cdot 1=11{,}0224\\ \mathrm{W}.
Total trifásico:
P_{cu}=3\cdot 11{,}0224=33{,}0672\\ \mathrm{W}\approx 33{,}06\\ \mathrm{W}.

Passo 8

Calcular a potência mecânica de saída. A potência mecânica entregue pelo eixo é a potência de entrada elétrica menos as perdas ôhmicas da armadura (assumindo que não temos outras perdas informadas no enunciado, como perdas no ferro, ventoinha, etc.; o enunciado pede explicitamente subtrair a perda na armadura):
P_{mech}=P_{in}-P_{cu}.
Numericamente:
P_{mech}\approx 3789{,}9 - 33{,}0672 \approx 3756{,}83\\ \mathrm{W}\approx 3757\\ \mathrm{W}.

Resposta

a) E_g=381\angle -5^\circ\\ \mathrm{V/ fase}
b) P_{in}=3790\\ \mathrm{W}
c) P_{cu}=33{,}06\\ \mathrm{W}
d) P_{mech}=3757\\ \mathrm{W}

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