Um alternador trifásico de 110 \mathrm{kVA}, 1100 \mathrm{~V}, ligado em estrela foi testado, sendo obtidos os resultados abaixo:
Ensaio de resistência em corrente contínua
\begin{gathered} E_{\text {entre linhas }}=6 \mathrm{~V} C C ; I_{\text {linha }}=10 \mathrm{~A} C C \\\ \left(\text { use } 1,5 \text { como fator multilplicador para calcular } R_{a}\right) \end{gathered}
Ensaio a vazio
\text { Corrente de campo } I_{f}=12,5 \text { A CC; } E_{\text {entre linhas }}=420 \mathrm{~V} \mathrm{CA}
Ensaio de curto-circuito
Corrente de campo I_{f}=12,5 A CC; Corrente de linha I_{a}= corrente nominal
Calcule (por fase):
a) A resistência efetiva;
b) A reatância síncrona;
c) A impedância síncrona.

Passo 1

O enunciado dá um alternador trifásico ligado em estrela com as seguintes medidas e pede os valores por fase:
\begin{aligned} &S_{\text{nom}}=110\\ \mathrm{kVA},\\[4pt] &V_{LL,\text{nom}}=1100\\ \mathrm{V}\\ (\text{tensão entre fases}),\\[4pt] &\text{Ensaio de resistência (CC):}\\ E_{\text{entre linhas}}=6\\ \mathrm{V\\ DC},\\ I_{\text{linha}}=10\\ \mathrm{A\\ DC},\\[4pt] &\text{Observação do enunciado: usar fator multiplicador }1{,}5\text{ para calcular }R_a,\\[4pt] &\text{Ensaio a vazio: }I_f=12{,}5\\ \mathrm{A\\ DC},\\ E_{\text{entre linhas}}=420\\ \mathrm{V\\ AC}\\[4pt] &\text{Ensaio de curto-circuito: }I_f=12{,}5\\ \mathrm{A\\ DC},\\ I_a=\text{corrente nominal (isto é, a corrente de linha nominal).} \end{aligned}ãêçãé
As perguntas (por fase) são:
a) Calcular a resistência efetiva R_a (por fase).
b) Calcular a reatância síncrona X_s (por fase).
c) Calcular a impedância síncrona Z_s (por fase).]

Passo 2

Primeiro vamos obter a corrente nominal por linha, que será usada como corrente de curto-circuito no ensaio. A potência aparente trifásica relaciona-se com tensão linha-linha e corrente de linha por
S=\sqrt{3}\,V_{LL}\,I_{\text{linha}}.
Isolando I_{\text{linha}}:
I_{\text{linha}}=\frac{S}{\sqrt{3}\,V_{LL}}.
Agora substituímos os valores numéricos fornecidos:
I_{\text{linha}}=\frac{110\\\ 000}{\sqrt{3}\times 1100}.
Calculemos passo a passo: \dfrac{110\\\ 000}{1100}=100, logo
I_{\text{linha}}=\frac{100}{\sqrt{3}}.
Como \sqrt{3}\approx1{,}732,
I_{\text{linha}}\approx\frac{100}{1{,}732}\approx57{,}735\\ \mathrm{A}.
Portanto a corrente nominal (e, no ensaio de curto, a corrente de armadura por fase) é
I_{sc}=I_{\text{linha}}\approx57{,}735\\ \mathrm{A}.

Passo 3

Precisamos trabalhar com grandezas por fase (fase-neutro). Como a máquina está em ligação estrela, a relação entre tensão linha-linha e tensão de fase é
V_{ph}=\frac{V_{LL}}{\sqrt{3}}.
No ensaio a vazio foi medida a tensão entre linhas 420\\ \mathrm{V} para a mesma excitação usada no curto. Assim a tensão de fase induzida correspondente (tensão interna por fase) é
E_{ph}=\frac{420}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{V}.
Calculemos numericamente:
E_{ph}\approx\frac{420}{1{,}732}\approx242{,}487\\ \mathrm{V}.
(Arredondarei os resultados finais com precisão adequada depois; por enquanto mantenho alguns dígitos para precisão dos cálculos.)

Passo 4

Agora vamos calcular a resistência efetiva por fase R_a usando o ensaio de resistência em CC. No ensaio foi medida a tensão entre linhas 6\\ \mathrm{V} para corrente 10\\ \mathrm{A}, logo a resistência medida entre linhas é
R_{\text{medida}}=\frac{6}{10}=0{,}6\\ \Omega.
O enunciado diz explicitamente para usar o fator multiplicador 1{,}5 para calcular R_a. Seguindo a instrução:
R_a=1{,}5\times R_{\text{medida}}=1{,}5\times0{,}6=0{,}9\\ \Omega.
Comentário didático curto (porque o problema já fornece o fator): esse fator corrige a medição DC entre terminais para obter a resistência efetiva por fase do enrolamento em condições práticas (arranjo do circuito e contributos de raciocínio e/ou aquecimento). Aqui aplicamos diretamente o fator indicado.

Passo 5

No ensaio de curto-circuito, com a mesma excitação, as f.e.m. interna por fase E_{ph} é equilibrada pela queda de tensão na impedância síncrona por fase Z_s:
E_{ph}=I_{sc}\,Z_s,
onde Z_s=R_a+jX_s e I_{sc} é a corrente de curto por fase (aqui igual à corrente nominal). Tomando magnitudes:
|Z_s|=\frac{E_{ph}}{I_{sc}}.
Substituindo os números:
|Z_s|=\frac{242{,}487}{57{,}735}\\ \Omega.
Fazendo a divisão (observe que 242{,}487/57{,}735 dá exatamente 4{,}2 com os números apresentados):
|Z_s|=4{,}2\\ \Omega.

Passo 6

Já que |Z_s| e R_a são conhecidos, podemos obter X_s por
X_s=\sqrt{|Z_s|^2-R_a^2}.
Substituindo:
X_s=\sqrt{(4{,}2)^2-(0{,}9)^2}=\sqrt{17{,}64-0{,}81}=\sqrt{16{,}83}.
Calculando:
X_s\approx4{,}1012\\ \Omega.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) fica X_s\approx4{,}10\\ \Omega.

Passo 7

A impedância síncrona por fase em forma complexa é simplesmente
Z_s=R_a+jX_s.
Com os valores encontrados:
Z_s=0{,}9+j4{,}1012\\ \Omega.
A magnitude já verificamos ser 4{,}2\\ \Omega. Se preferir arredondar:
Z_s\approx0{,}90+j4{,}10\\ \Omega,\qquad |Z_s|\approx4{,}20\\ \Omega.

Passo 8

Resumo rápido do que cada grandeza significa (mini-aula):
  • R_a é a resistência efetiva por fase do enrolamento de armadura; causa perdas Joule e uma queda de tensão real quando há corrente de armadura.
  • X_s é a reatância síncrona por fase; representa a oposição indutiva (e efeito da reação de armadura) ao fluxo variável. Em máquinas síncronas costuma predominar sobre R_a.
  • Z_s é a impedância por fase que combina R_a e X_s em série; sob curto-circuito a f.e.m. interna é equilibrada por I\cdot Z_s.
    No exame: para achar X_s normalmente usamos o parens ensaio vazio (determina E_{ph} para uma dada excitação) e o ensaio em curto (determina I_{sc} para a mesma excitação) e então X_s\approx E_{ph}/I_{sc} se R_a for desprezível; aqui fizemos o cálculo exato levando R_a em conta.

Resposta

a) R_a=0{,}90\\ \Omega
b) X_s\approx4{,}10\\ \Omega
c) Z_s\approx0{,}90+j4{,}10\\ \Omega

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