Um motor trifásico de 10 CV deve ser instalado em uma indústria ligado em delta em um sistema cuja tensão de linha e 380 Volts, com fator de potência 0,5. Os técnicos possuem o condutor #2,5 mm². Qual o valor mínimo de potência capacitiva que deve ser empregado para que eles possam utilizar este condutor? (2 ponto)
A1
Seções ( \mathrm{mm}^{2}) CONDUTORES CARREGADOS
2 3
0.5 7 7
0.75 9 9
1 11 10
1,5 14,5 13,5
2,5 19,5 18
4 26 24
6 34 31
10 46 42
16 61 56
25 80 73
35 99 89
50 119 108
70 151 136
95 182 164
120 278 249
150 318 285

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a potência reativa capacitiva mínima Q_c que deve ser instalada para que os condutores de seção \,2{,}5\\ \mathrm{mm}^2 possam ser utilizados, isto é, para que a corrente de linha do motor não ultrapasse a corrente admissível do condutor.
Dados fornecidos:
  • Potência do motor: 10\\ \mathrm{CV}.
  • Ligação: delta (trifásico).
  • Tensão de linha: 380\\ \mathrm{V}.
  • Fator de potência inicial: \mathrm{pf}_1 = 0{,}5.
  • Condutor disponível: 2{,}5\\ \mathrm{mm}^2.
  • Peguei da tabela (dada no enunciado) o valor de corrente admissível para \,2{,}5\\ \mathrm{mm}^2 com 3 condutores carregados: I_{\text{adm}}=18\\ \mathrm{A}.
Observação importante (assunção necessária): o enunciado não fornece eficiência do motor nem perdas; para poder prosseguir assume-se que a potência ativa usada nos cálculos é P=10\\ \mathrm{CV} convertida para watts (isto é, trata-se aqui da potência ativa demandada que queremos corrigir). Se na prova for necessário considerar eficiência, repetirá-se o processo substituindo P pela potência de entrada real P/\eta.

Passo 2

Converter 10\\ \mathrm{CV} para watts. Usa-se a relação padrão:
1\\ \mathrm{CV}=736\\ \mathrm{W}.
Portanto
P=10\times736=7360\\ \mathrm{W}.

Passo 3

Aprendendo as fórmulas essenciais (aula rápida):
  • Em um sistema trifásico equilibrado, a potência aparente é
S=\sqrt{3}\,V_L\,I_L,
onde \,V_L é a tensão de linha (em volts) e \,I_L é a corrente de linha (em ampères).
  • A potência ativa está relacionada por
P=S\cos\varphi=\sqrt{3}\,V_L\,I_L\,\mathrm{pf},
onde \mathrm{pf}=\cos\varphi é o fator de potência.
  • A potência reativa (quadrática) é
Q=P\tan\varphi.
Explicação das variáveis:
  • P: potência ativa (W).
  • S: potência aparente (VA).
  • Q: potência reativa (var).
  • \varphi: ângulo de fase entre tensão e corrente.
  • \mathrm{pf}: fator de potência, \mathrm{pf}=\cos\varphi.
  • \tan\varphi=\sqrt{\dfrac{1}{\mathrm{pf}^2}-1} (fórmula útil para calcular \tan\varphi a partir de \mathrm{pf}).

Passo 4

Calcular a corrente de linha inicial I_1 com \mathrm{pf}_1=0{,}5 usando
I_1=\dfrac{P}{\sqrt{3}\,V_L\,\mathrm{pf}_1}.
Substituindo números:
\sqrt{3}\,V_L\,\mathrm{pf}_1=\sqrt{3}\times380\times0{,}5 =1{,}732\times380\times0{,}5=329{,}48.
Logo
I_1=\dfrac{7360}{329{,}48}\approx22{,}34\\ \mathrm{A}.
Comparando com a corrente admissível (peguei da tabela): I_{\text{adm}}=18\\ \mathrm{A}. Como I_1> I_{\text{adm}}, é preciso instalar compensação capacitiva.

Passo 5

Determinar o fator de potência necessário \mathrm{pf}_2 para que a corrente de linha caia para I_{\text{adm}}=18\\ \mathrm{A}. Reorganizando a fórmula:
\mathrm{pf}_2=\dfrac{P}{\sqrt{3}\,V_L\,I_{\text{adm}}}.
Calcular o denominador:
\sqrt{3}\,V_L\,I_{\text{adm}}=\sqrt{3}\times380\times18 =1{,}732\times380\times18=11\,836.
Logo
\mathrm{pf}_2=\dfrac{7360}{11\,836}\approx0{,}622.

Passo 6

Calcular a potência reativa que o capacitor deve fornecer. A ideia: o capacitor reduz a reativa do sistema do valor inicial Q_1 para o novo Q_2; a potência do capacitor é
Q_c=Q_1-Q_2=P\bigl(\tan\varphi_1-\tan\varphi_2\bigr),
com \tan\varphi=\sqrt{\dfrac{1}{\mathrm{pf}^2}-1}.
Calcular \tan\varphi_1 para \mathrm{pf}_1=0{,}5:
\tan\varphi_1=\sqrt{\dfrac{1}{0{,}5^2}-1}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}\approx1{,}732.
Calcular \tan\varphi_2 para \mathrm{pf}_2\approx0{,}622:
\tan\varphi_2=\sqrt{\dfrac{1}{0{,}622^2}-1}.
Fazendo as contas:
0{,}622^2\approx0{,}386884,\qquad \dfrac{1}{0{,}386884}\approx2{,}585,\qquad 2{,}585-1=1{,}585,
\tan\varphi_2\approx\sqrt{1{,}585}\approx1{,}259.
Agora calcular Q_c:
Q_c=7360\bigl(1{,}732-1{,}259\bigr)=7360\times0{,}473\approx3480\\ \mathrm{var}.

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida: com a correção reativa Q_c\approx3480\\ \mathrm{var} (ou 3{,}48\\ \mathrm{kVAr}) o fator de potência sobe de 0{,}5 para cerca de 0{,}622, a potência aparente necessária diminui para S_2=\dfrac{P}{\mathrm{pf}_2}\approx11{,}836\\ \mathrm{VA} e a corrente de linha fica
I_2=\dfrac{S_2}{\sqrt{3}\,V_L}=\dfrac{11\,836}{1{,}732\times380}=18\\ \mathrm{A},
exatamente o valor admissível. Portanto a correção atende ao objetivo.

Resposta

Q_c\approx3{,}48\\ \mathrm{kVAr}

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