Um motor trifásico de 30 h p (potência mecânica), fator de potência 80 \% em atraso e eficiência de 92 \%, opera a plena carga, sob a tensão nominal de 380 V . Calcule: .( 2 pontos)
a. Corrente requerida pelo motor em Amperes
b. Valores de P e Q absorvidos pelo motor.
c. Explique como a potência pode ser dada por: (1 ponto)
S=\sqrt{3} \cdot V_{L} \cdot I_{L} \quad S=3 \cdot V_{P} \cdot I_{P}
Ou
d. Explique o que é o fator de potência e quais são suas implicações no sistema elétrico.( 1 ponto)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede (tudo que vem do enunciado):
  • Dados fornecidos:
    • Potência mecânica do motor: 30\\ \mathrm{hp}.
    • Fator de potência: 80\% em atraso (ou seja, \mathrm{pf}=0{,}80, tipo indutivo).
    • Eficiência: 92\% (ou seja, \eta=0{,}92).
    • Tensão nominal (linha a linha): V_{L}=380\\ \mathrm{V}.
    • Motor opera em plena carga.
  • O enunciado pede:
    a) Corrente requerida pelo motor em ampères (corrente de linha I_{L}).
    b) Valores de potência ativa P e potência reativa Q absorvidos pelo motor (ou seja, potência elétrica de entrada P e Q).
    c) Explicar por que a potência aparente pode ser dada por \;S=\sqrt{3}\,V_{L}\,I_{L}\; e \;S=3\,V_{P}\,I_{P}.
    d) Explicar o que é o fator de potência e suas implicações no sistema elétrico.

Passo 2

Converter a potência mecânica em watts e calcular a potência elétrica absorvida usando a eficiência.
  • Primeiro, converto cavalos-vapor para watts. A conversão usada aqui é:
1\\ \mathrm{hp}=746\\ \mathrm{W}.
  • Potência mecânica de saída:
P_{\text{out}} = 30\\ \mathrm{hp}\times 746\\ \mathrm{W/hp} = 30\cdot 746 = 22\,380\\ \mathrm{W}.
Expliquei: P_{\text{out}} é a potência mecânica entregue pelo eixo do motor.
  • A potência elétrica de entrada (potência ativa absorvida pelo motor) relaciona-se com a eficiência por:
\eta=\frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}\quad\Longrightarrow\quad P_{\text{in}}=\frac{P_{\text{out}}}{\eta}.
Substituindo:
P_{\text{in}}=\frac{22\,380}{0{,}92}=24\,326{,}0869565\\ \mathrm{W}\approx 24\,326{,}09\\ \mathrm{W}.
Explicando: a eficiência significa que parte da potência elétrica é perdida (calor, atrito etc.); para obter a potência mecânica dada, o motor consome mais potência elétrica.

Passo 3

Calcular a potência aparente S a partir do fator de potência e então a corrente de linha I_{L}.
  • Relação entre potência ativa P, potência aparente S e fator de potência \mathrm{pf}:
\mathrm{pf}=\cos\varphi=\frac{P}{S}\quad\Longrightarrow\quad S=\frac{P}{\mathrm{pf}}.
Substituindo P=P_{\text{in}} e \mathrm{pf}=0{,}80:
S=\frac{24\,326{,}0869565}{0{,}80}=30\,407{,}6086956\\ \mathrm{VA}\approx 30\,407{,}61\\ \mathrm{VA}.
  • Para um sistema trifásico equilibrado, a potência aparente total também se relaciona com tensão de linha e corrente de linha por:
S=\sqrt{3}\,V_{L}\,I_{L}.
Isolando I_{L}:
I_{L}=\frac{S}{\sqrt{3}\,V_{L}}.
Substituindo S e V_{L}=380\\ \mathrm{V} (e usando \sqrt{3}\approx 1{,}73205):
I_{L}=\frac{30\,407{,}6086956}{1{,}73205\cdot 380} =\frac{30\,407{,}6086956}{658{,}179306874}\approx 46{,}223\\ \mathrm{A}.
Arredondando com razoável precisão:
I_{L}\approx 46{,}22\\ \mathrm{A}.
Expliquei: a corrente aumenta quando o fator de potência é baixo, porque para fornecer a mesma potência ativa é preciso maior potência aparente.

Passo 4

Calcular a potência reativa Q. Apresento dois métodos (ambos equivalentes) e uso o mais direto.
Método 1 — usando o ângulo de fase \varphi:
  • O fator de potência é \mathrm{pf}=\cos\varphi=0{,}80. Logo
\sin\varphi=\sqrt{1-\cos^{2}\varphi}=\sqrt{1-0{,}80^{2}}=\sqrt{1-0{,}64}=\sqrt{0{,}36}=0{,}60.
  • A relação entre P, Q e o ângulo é \tan\varphi=\dfrac{Q}{P}. Assim
\tan\varphi=\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\frac{0{,}60}{0{,}80}=0{,}75.
  • Logo
Q=P\cdot \tan\varphi=24\,326{,}0869565\cdot 0{,}75=18\,244{,}5652174\\ \mathrm{VAr}\approx 18\,244{,}57\\ \mathrm{VAr}.
Método 2 — usando a relação pitagórica entre S,P,Q:
S^{2}=P^{2}+Q^{2}\quad\Longrightarrow\quad Q=\sqrt{S^{2}-P^{2}},
que dá o mesmo resultado numérico (verificação opcional).
Observação prática: como o fator é “em atraso”, o motor é indutivo e absorve potência reativa positiva (consome reativo).

Passo 5

Resumo numérico dos resultados (para ficar claro antes da explicação teórica):
  • Potência ativa absorvida: P_{\text{in}}\approx 24\,326{,}09\\ \mathrm{W} (ou 24{,}33\\ \mathrm{kW}).
  • Potência aparente: S\approx 30\,407{,}61\\ \mathrm{VA} (ou 30{,}41\\ \mathrm{kVA}).
  • Corrente de linha: I_{L}\approx 46{,}22\\ \mathrm{A}.
  • Potência reativa absorvida: Q\approx 18\,244{,}57\\ \mathrm{VAr} (ou 18{,}24\\ \mathrm{kVAr}).

Passo 6

Explicação didática de por que
S=\sqrt{3}\,V_{L}\,I_{L}\quad\text{e}\quad S=3\,V_{P}\,I_{P}.
Vou explicar passo a passo com linguagem simples:
  • Em um sistema trifásico equilibrado temos três fases idênticas, cada fase entrega uma potência aparente S_{\varphi}. A potência aparente total é a soma das três fases:
S_{\text{total}}=3\,S_{\varphi}.
  • Para uma única fase, a potência aparente de fase é:
S_{\varphi}=V_{P}\,I_{P},
onde V_{P} é a tensão fase-neutro (tensão de fase) e I_{P} é a corrente na fase. Daí imediatamente:
S_{\text{total}}=3\,V_{P}\,I_{P}.
Isso explica a segunda fórmula S=3\,V_{P}\,I_{P}.
  • Agora a relação entre tensões e correntes de fase e de linha depende da forma de ligação (estrela/Y ou triângulo/Δ). Para um sistema equilibrado e muito usado na prática (ligações em estrela ou, de forma geral, ao relacionar valores de linha):
    • Na ligação em estrela (Y): V_{L}=\sqrt{3}\,V_{P} e I_{L}=I_{P}.
    • Na ligação em triângulo (Δ): V_{L}=V_{P} e I_{L}=\sqrt{3}\,I_{P}.
  • Substituindo a relação típica (por exemplo, para estrela) em S=3\,V_{P}\,I_{P}, usando V_{P}=V_{L}/\sqrt{3} e I_{P}=I_{L}, obtemos:
S=3\left(\frac{V_{L}}{\sqrt{3}}\right)I_{L}=\sqrt{3}\,V_{L}\,I_{L}.
Essa é a forma prática frequentemente usada porque normalmente se conhece V_{L} (tensão linha a linha) e se mede I_{L} (corrente de linha). Para ligação em triângulo a manipulação é análoga e também leva a S=\sqrt{3}\,V_{L}\,I_{L}. Portanto as duas expressões são equivalentes para sistemas trifásicos balanceados; uma usa grandezas de fase e a outra usa grandezas de linha.

Passo 7

O que é o fator de potência e suas implicações (explicação didática e prática).
  • Definição:
\text{fator de potência }(\mathrm{pf})=\cos\varphi=\frac{P}{S},ê
onde P é a potência ativa (W) efetivamente convertida em trabalho/calor útil e S é a potência aparente (VA) que representa o produto da tensão pela corrente. O ângulo \varphi é o deslocamento de fase entre tensão e corrente na carga.
  • Interpretação simples: o fator de potência mede a fração da corrente que contribui para trabalho real. Se \mathrm{pf}=1, toda a corrente é produtiva; se \mathrm{pf}<1, parte da corrente apenas circula para suportar campos magnéticos (potência reativa), sem fazer trabalho útil.
  • Implicações práticas no sistema elétrico:
    • Para uma mesma potência ativa P, um menor \mathrm{pf} implica maior potência aparente S e, portanto, maior corrente I. Mais corrente significa maiores perdas ôhmicas ( I^{2}R) em condutores e transformadores.
    • Maior corrente provoca maior queda de tensão ao longo das linhas, podendo prejudicar o funcionamento de equipamentos.
    • Companhias de energia costumam penalizar clientes com baixo fator de potência (cobranças adicionais), porque a rede precisa dimensionar equipamentos para S, não só para P.
    • Baixo \mathrm{pf} reduz a capacidade de transmissão útil da rede (menos capacidade para transportar potência ativa).
    • Para melhorar o fator de potência usam-se bancos de capacitores (compensação reativa), reatores síncronos, ou outros dispositivos; o objetivo é reduzir Q e, assim, aumentar \mathrm{pf} e reduzir correntes e perdas.
  • Exemplo numérico rápido de interpretação: no problema, \mathrm{pf}=0{,}80 e P\approx 24{,}3\\ \mathrm{kW}. A potência aparente ficou \approx 30{,}4\\ \mathrm{kVA}. Ou seja, para entregar 24{,}3\\ \mathrm{kW} é preciso que a rede suporte 30{,}4\\ \mathrm{kVA} — um acréscimo de corrente de cerca de 30{,}4/24{,}3\approx 1{,}25 vezes.

Resposta

a. I_{L}\approx 46{,}22\\ \mathrm{A}
b. P_{\text{absorvido}}=P_{\text{in}}\approx 24\,326{,}09\\ \mathrm{W} \;(\approx 24{,}33\\ \mathrm{kW})
Q_{\text{absorvido}}\approx 18\,244{,}57\\ \mathrm{VAr} \;(\approx 18{,}24\\ \mathrm{kVAr})
c. As fórmulas são equivalentes para sistema trifásico equilibrado: S=3\,V_{P}\,I_{P} vem da soma das três fases ( S_{\text{total}}=3S_{\varphi}) e, usando as relações entre tensões e correntes de linha e de fase ( V_{L}=\sqrt{3}V_{P}, I_{L}=I_{P} em estrela), obtem-se S=\sqrt{3}\,V_{L}\,I_{L}.
d. O fator de potência é \mathrm{pf}=\cos\varphi=\dfrac{P}{S}. Implicações: \mathrm{pf}<1 significa maior corrente para mesma P, maiores perdas ( I^{2}R), maior queda de tensão, menor capacidade útil da rede e possíveis penalidades tarifárias; corrige‑se com compensação reativa (capacitores, etc.).

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