Um motor trifásico com potência ativa de 30 KW e fator de potência 0,85 (atrasado), é alimentado por um gerador trifásico equilibrado com tensão de linha de 440 V_{\text {RMS }}. Considere que o motor trifásico é uma carga equilibrada.
a) Determine a corrente eficaz de linha necessária para alimentar este motor trifásico.
b) Qual é a capacidade mínima de potência trifásica (em VA) que esse gerador deve possuir para conseguir alimentar esse motor?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Informações fornecidas:
P = 30\\ \text{kW} = 30000\\ \text{W},
\cos\varphi = 0{,}85\quad(\text{atrasado}),
V_{L} = 440\\ \text{V (tensão de linha, RMS)},ã
a carga é trifásica equilibrada.
Perguntas:
  1. Determinar a corrente eficaz de linha necessária ( I_L).
  2. Determinar a capacidade mínima de potência trifásica (em VA) que o gerador deve possuir.

Passo 2

Escolha do método e fórmula principal. Para sistemas trifásicos equilibrados a relação entre potência ativa, tensão de linha, corrente de linha e fator de potência é:
P = \sqrt{3}\,V_{L}\,I_{L}\,\cos\varphi.
Aqui:
  • P é a potência ativa total (em W),
  • V_{L} é a tensão de linha (em V, RMS),
  • I_{L} é a corrente de linha (em A, RMS) — incógnita da parte (a),
  • \cos\varphi é o fator de potência (adimensional),
  • \sqrt{3} aparece porque é sistema trifásico equilibrado.
Vou usar essa fórmula para isolar I_{L} e calcular. Para a parte (b) recorde que a potência aparente total (capacidade em VA) do gerador deve ser pelo menos a potência aparente demandada pela carga:
S = \frac{P}{\cos\varphi}\quad(\text{em VA}),
ou alternativamente S = \sqrt{3}\,V_{L}\,I_{L}. O gerador deve ser classificado por S (VA).

Passo 3

Isolando I_{L} da fórmula de potência ativa:
I_{L}=\frac{P}{\sqrt{3}\,V_{L}\,\cos\varphi}.
Agora substituímos os valores dados:
\sqrt{3}\approx 1{,}7320508,
\sqrt{3}\,V_{L}\,\cos\varphi \;=\;1{,}7320508\times 440\times 0{,}85.
Calcule passo a passo:
1{,}7320508\times 440 = 762{,}1023552,
762{,}1023552\times 0{,}85 = 647{,}7870029.
Logo
I_{L}=\frac{30000}{647{,}7870029}\approx 46{,}3369\\ \text{A}.
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais:
I_{L}\approx 46{,}34\\ \mathrm{A}.

Passo 4

Agora a capacidade mínima em VA do gerador. Como explicado, o gerador deve suportar a potência aparente:
S=\frac{P}{\cos\varphi}.
Substituindo:
S=\frac{30000}{0{,}85}=35294{,}117647\\ \text{VA}.
Arredondando para duas casas decimais:
S\approx 35294{,}12\\ \mathrm{VA},
ou, em kVA, escrevendo com vírgula decimal:
S\approx 35{,}294\\ \mathrm{kVA}.

Passo 5

Interpretação didática e observações práticas (rápida e amigável):
  • O motivo de o gerador precisar de mais VA do que os 30\\ \text{kW} é o fator de potência <1: parte da corrente cria potência reativa, que aumenta a corrente e a potência aparente sem aumentar a potência ativa útil.
  • Em projeto prático normalmente escolhe-se um gerador com capacidade nominal um pouco superior a S calculado, deixando margem para variações e perdas (por exemplo escolher próximo de 40\\ \text{kVA} se houver restrições de tamanhos comerciais).
    Força aí — deu pra ver direitinho como calcular na prova: isola I_L e lembra que o gerador é classificado por S.

Resposta

\,46{,}34\\ \mathrm{A}
\,35294{,}12\\ \mathrm{VA}

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