Para determinada aplicação, é necessária a utilização de um motor térmico com potência útil de 5 KW . Para isso, duas alternativas de motor foram propostas, com o motor I , que consome
de taxa de calor e trabalho com
K e
ou com o motor II, que consome
de taxa de calor e trabalha com T1
. Denotando por T1, T2, W e Q, respectivamente, a temperatura da fonte fria, a temperatura da fonte quente, a potência desenvolvida e a taxa de calor fornecida, e considerando que a máxima eficiência teórica que uma máquinas térmica pode desenvolver corresponde a do ciclo de Carnot, faça o que se pede nos itens a seguir, sabendo que:
a) As duas máquinas são teoricamente viáveis? Justifique sua resposta
b) Considerando que os custos das duas máquinas sejam idênticos, indique qual das duas deve ser escolhida e justifique sua resposta.
a) As duas máquinas são teoricamente viáveis? Justifique sua resposta
b) Considerando que os custos das duas máquinas sejam idênticos, indique qual das duas deve ser escolhida e justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a viabilidade teórica de duas máquinas térmicas e, com custos idênticos, indicar qual escolher. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
- Potência útil requerida:
(ou seja, ). - Motor I:
- Taxa de calor fornecida:
. - Temperatura da fonte fria:
. - Temperatura da fonte quente:
.
- Taxa de calor fornecida:
- Motor II:
- Taxa de calor fornecida:
. - Temperatura da fonte fria:
. - Temperatura da fonte quente:
.
Perguntas a responder:
- Taxa de calor fornecida:
- As duas máquinas são teoricamente viáveis? (Justificar.)
- Considerando custos idênticos, qual das duas escolher e por quê?
Passo 2
Explicação da ideia teórica que vamos usar (passo-a-passo e com calma): a maior eficiência que uma máquina térmica pode alcançar entre duas fontes nas temperaturas
(fria) e
(quente) é a eficiência do ciclo de Carnot. A fórmula da eficiência de Carnot é
onde:
-
é a eficiência máxima (fração do calor que vira trabalho); -
é a temperatura da fonte fria (em kelvin); -
é a temperatura da fonte quente (em kelvin).
Significado prático: se a máquina recebe uma taxa de calor(em ), a potência máxima de trabalho que ela pode gerar teoricamente é
Se
for maior ou igual à potência requerida (
), então a máquina é teoricamente capaz de produzir essa potência (pelo menos em princípio, idealmente).
Passo 3
Aplicando a fórmula para o motor I: calcular a eficiência de Carnot de I.
Calculemos a fração:
portanto
Interpretação: idealmente o motor I transforma
do calor recebido em trabalho.
Passo 4
Calcular a potência máxima que o motor I pode fornecer com a taxa de calor dada:
Fazendo a multiplicação:
Comparação com a potência requerida:
. Conclusão parcial: o motor I é teoricamente capaz de fornecer os
.
Passo 5
Agora para o motor II: calcular a eficiência de Carnot de II.
Calculemos a fração:
portanto
Interpretação: idealmente o motor II transforma cerca de
do calor recebido em trabalho.
Passo 6
Calcular a potência máxima que o motor II pode fornecer com a taxa de calor dada:
Fazendo a conta:
Ou seja,
Comparação com a potência requerida:
. Conclusão parcial: o motor II também é teoricamente capaz de fornecer os
.
Passo 7
Resumo da viabilidade (resposta ao item a): ambos os motores têm potência máxima teórica (no limite de Carnot) maior que os
requeridos:
- Motor I:
. - Motor II:
.
Logo, teoricamente, as duas são viáveis.
Passo 8
Agora escolher entre as duas (resposta ao item b): com custos iguais, devemos preferir a máquina que, idealmente, exige menos calor fornecido para produzir a mesma potência de
— isto significa escolher a máquina com maior eficiência (porque menor calor necessário para a mesma potência significa menor consumo de combustível por unidade de trabalho). Vamos calcular a taxa de calor mínima necessária para produzir
se a máquina operasse com a eficiência de Carnot (limite ideal):
- Para o motor I:
- Para o motor II:
Interpretação: idealmente o motor I precisa de
de calor para produzir
, enquanto o motor II precisa de
. Portanto, o motor I é mais eficiente (menor consumo de calor para mesma potência) e tem também uma margem maior entre o calor que pode receber (
versus
requerido) e a mínima necessária; o motor II tem margem menor (
disponível versus
requerido). Assim, escolhendo sob critério de menor consumo de calor/fuel e maior folga operacional, devemos optar pelo motor I.
Resposta
(a) Sim. O motor I tem
e o motor II tem
; ambos são maiores que
.
(b) Escolher o motor I, porque ele tem maior eficiência ( contra
), requer menos calor para produzir
(
contra
) e oferece maior folga operacional.
(b) Escolher o motor I, porque ele tem maior eficiência (