Para determinada aplicação, é necessária a utilização de um motor térmico com potência útil de 5 KW . Para isso, duas alternativas de motor foram propostas, com o motor I , que consome 10000 \mathrm{~J} / \mathrm{s} de taxa de calor e trabalho com \mathrm{T} 1=300 K e \mathrm{T} 2=1200 \mathrm{~K} ou com o motor II, que consome 8000 \mathrm{~J} / \mathrm{s} de taxa de calor e trabalha com T1 =300 \mathrm{k} \mathrm{e} \mathrm{T2}=900 \mathrm{~K}. Denotando por T1, T2, W e Q, respectivamente, a temperatura da fonte fria, a temperatura da fonte quente, a potência desenvolvida e a taxa de calor fornecida, e considerando que a máxima eficiência teórica que uma máquinas térmica pode desenvolver corresponde a do ciclo de Carnot, faça o que se pede nos itens a seguir, sabendo que:
a) As duas máquinas são teoricamente viáveis? Justifique sua resposta
b) Considerando que os custos das duas máquinas sejam idênticos, indique qual das duas deve ser escolhida e justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a viabilidade teórica de duas máquinas térmicas e, com custos idênticos, indicar qual escolher. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
  • Potência útil requerida: 5{,}0\\ \mathrm{kW} (ou seja, 5000\\ \mathrm{J/s}).
  • Motor I:
    • Taxa de calor fornecida: Q_{\text{I}}=10000\\ \mathrm{J/s}.
    • Temperatura da fonte fria: T_1=300\\ \mathrm{K}.
    • Temperatura da fonte quente: T_{2,\text{I}}=1200\\ \mathrm{K}.
  • Motor II:
    • Taxa de calor fornecida: Q_{\text{II}}=8000\\ \mathrm{J/s}.
    • Temperatura da fonte fria: T_1=300\\ \mathrm{K}.
    • Temperatura da fonte quente: T_{2,\text{II}}=900\\ \mathrm{K}.
      Perguntas a responder:
  1. As duas máquinas são teoricamente viáveis? (Justificar.)
  2. Considerando custos idênticos, qual das duas escolher e por quê?

Passo 2

Explicação da ideia teórica que vamos usar (passo-a-passo e com calma): a maior eficiência que uma máquina térmica pode alcançar entre duas fontes nas temperaturas T_1 (fria) e T_2 (quente) é a eficiência do ciclo de Carnot. A fórmula da eficiência de Carnot é
\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_1}{T_2},
onde:
  • \eta_{\text{Carnot}} é a eficiência máxima (fração do calor que vira trabalho);
  • T_1 é a temperatura da fonte fria (em kelvin);
  • T_2 é a temperatura da fonte quente (em kelvin).
    Significado prático: se a máquina recebe uma taxa de calor \dot{Q} (em \mathrm{J/s}), a potência máxima de trabalho que ela pode gerar teoricamente é
\dot{W}_{\max} = \eta_{\text{Carnot}} \cdot \dot{Q}.
Se \dot{W}_{\max} for maior ou igual à potência requerida ( 5000\\ \mathrm{J/s}), então a máquina é teoricamente capaz de produzir essa potência (pelo menos em princípio, idealmente).

Passo 3

Aplicando a fórmula para o motor I: calcular a eficiência de Carnot de I.
\eta_{\text{I}} = 1 - \frac{T_1}{T_{2,\text{I}}} = 1 - \frac{300}{1200}.
Calculemos a fração:
\frac{300}{1200} = 0{,}25,
portanto
\eta_{\text{I}} = 1 - 0{,}25 = 0{,}75.
Interpretação: idealmente o motor I transforma 75\% do calor recebido em trabalho.

Passo 4

Calcular a potência máxima que o motor I pode fornecer com a taxa de calor dada:
\dot{W}_{\text{I,max}} = \eta_{\text{I}} \cdot Q_{\text{I}} = 0{,}75 \cdot 10000\\ \mathrm{J/s}.
Fazendo a multiplicação:
\dot{W}_{\text{I,max}} = 7500\\ \mathrm{J/s} = 7{,}5\\ \mathrm{kW}.
Comparação com a potência requerida: 7{,}5\\ \mathrm{kW} > 5{,}0\\ \mathrm{kW}. Conclusão parcial: o motor I é teoricamente capaz de fornecer os 5\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

Agora para o motor II: calcular a eficiência de Carnot de II.
\eta_{\text{II}} = 1 - \frac{T_1}{T_{2,\text{II}}} = 1 - \frac{300}{900}.
Calculemos a fração:
\frac{300}{900} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333333\ldots,
portanto
\eta_{\text{II}} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \approx 0{,}666666\ldots.
Interpretação: idealmente o motor II transforma cerca de 66{,}7\% do calor recebido em trabalho.

Passo 6

Calcular a potência máxima que o motor II pode fornecer com a taxa de calor dada:
\dot{W}_{\text{II,max}} = \eta_{\text{II}} \cdot Q_{\text{II}} = \frac{2}{3} \cdot 8000\\ \mathrm{J/s}.
Fazendo a conta:
\dot{W}_{\text{II,max}} = \frac{2}{3}\cdot 8000 = 2\cdot \frac{8000}{3} = 2\cdot 2666{,}666\ldots = 5333{,}333\ldots\\ \mathrm{J/s}.
Ou seja,
\dot{W}_{\text{II,max}} \approx 5333{,}3\\ \mathrm{J/s} = 5{,}333\\ \mathrm{kW}.
Comparação com a potência requerida: 5{,}333\\ \mathrm{kW} > 5{,}0\\ \mathrm{kW}. Conclusão parcial: o motor II também é teoricamente capaz de fornecer os 5\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Resumo da viabilidade (resposta ao item a): ambos os motores têm potência máxima teórica (no limite de Carnot) maior que os 5\\ \mathrm{kW} requeridos:
  • Motor I: \dot{W}_{\text{I,max}} = 7{,}5\\ \mathrm{kW}.
  • Motor II: \dot{W}_{\text{II,max}} \approx 5{,}333\\ \mathrm{kW}.
    Logo, teoricamente, as duas são viáveis.

Passo 8

Agora escolher entre as duas (resposta ao item b): com custos iguais, devemos preferir a máquina que, idealmente, exige menos calor fornecido para produzir a mesma potência de 5\\ \mathrm{kW} — isto significa escolher a máquina com maior eficiência (porque menor calor necessário para a mesma potência significa menor consumo de combustível por unidade de trabalho). Vamos calcular a taxa de calor mínima necessária para produzir 5000\\ \mathrm{J/s} se a máquina operasse com a eficiência de Carnot (limite ideal):
  • Para o motor I:
Q_{\text{I,req}} = \frac{\dot{W}}{\eta_{\text{I}}} = \frac{5000}{0{,}75} = 6666{,}666\ldots\\ \mathrm{J/s}.
  • Para o motor II:
Q_{\text{II,req}} = \frac{\dot{W}}{\eta_{\text{II}}} = \frac{5000}{2/3} = 5000\cdot\frac{3}{2} = 7500\\ \mathrm{J/s}.
Interpretação: idealmente o motor I precisa de 6666{,}7\\ \mathrm{J/s} de calor para produzir 5\\ \mathrm{kW}, enquanto o motor II precisa de 7500\\ \mathrm{J/s}. Portanto, o motor I é mais eficiente (menor consumo de calor para mesma potência) e tem também uma margem maior entre o calor que pode receber ( 10000 versus 6666{,}7 requerido) e a mínima necessária; o motor II tem margem menor ( 8000 disponível versus 7500 requerido). Assim, escolhendo sob critério de menor consumo de calor/fuel e maior folga operacional, devemos optar pelo motor I.

Resposta

(a) Sim. O motor I tem \dot{W}_{\text{I,max}}=0{,}75\cdot 10000=7500\\ \mathrm{J/s}=7{,}5\\ \mathrm{kW} e o motor II tem \dot{W}_{\text{II,max}}=\tfrac{2}{3}\cdot 8000\approx5333{,}3\\ \mathrm{J/s}=5{,}333\\ \mathrm{kW}; ambos são maiores que 5000\\ \mathrm{J/s}.
(b) Escolher o motor I, porque ele tem maior eficiência ( \eta_{\text{I}}=0{,}75 contra \eta_{\text{II}}=2/3), requer menos calor para produzir 5\\ \mathrm{kW} ( 6666{,}7\\ \mathrm{J/s} contra 7500\\ \mathrm{J/s} ) e oferece maior folga operacional.

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