Uma força de 500 N é aplicada sobre um fio de comprimento 4 m e área transversal circular de 2 \mathrm{~mm}^{2}. Em reação, o fio é esticado por 5 mm , e o diâmetro diminui por 0.06 \%. Calcule os módulos de Young, de cisalhamento e de compressibilidade.

Passo 1

O enunciado pede que a partir dos dados de tração de um fio se calcule os seguintes módulos: módulo de Young, módulo de cisalhamento e módulo de compressibilidade (bulk modulus).\n
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que temos):\n
\displaystyle F=500\\ \mathrm{N} (força aplicada)\n
\displaystyle L=4{,}0\\ \mathrm{m} (comprimento inicial do fio)\n
\displaystyle A=2\\ \mathrm{mm}^2 (área da secção transversal, dada em milímetros quadrados)\n
\displaystyle \Delta L=5\\ \mathrm{mm} (alongamento do fio)\n
A imagem/descrição indica que o diâmetro do fio diminui em 0{,}06\% em consequência do alongamento (ou seja, variação percentual do diâmetro é -0{,}06\%).\n
Perguntas concretas: calcular\n
  1. o módulo de Young E;\n
  2. o módulo de cisalhamento G;\n
  3. o módulo de compressibilidade (bulk modulus) K.\n

Passo 2

Primeiro passo prático: passar todas as grandezas para unidades SI e calcular as deformações (strains) necessárias.\n
Conversões e definições que vou usar (explico rapidinho para você lembrar na prova):\n
  • 1\\ \mathrm{mm}=10^{-3}\\ \mathrm{m} e 1\\ \mathrm{mm}^2=10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.\n
  • A deformação axial (alongamento relativo) é \displaystyle \varepsilon_{\ell}=\frac{\Delta L}{L}.\n
  • A deformação transversal (variação relativa do diâmetro) é \displaystyle \varepsilon_{t}=\frac{\Delta d}{d}. No enunciado foi dada como uma porcentagem.\n
    Agora as conversões numéricas:\n
    \displaystyle A=2\\ \mathrm{mm}^2 = 2\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.\n
    \displaystyle \Delta L=5\\ \mathrm{mm}=5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.\n
    Cálculo da deformação axial:\n
\varepsilon_{\ell}=\frac{\Delta L}{L}=\frac{5\times10^{-3}}{4{,}0}=0{,}00125.
A variação percentual do diâmetro foi dada como -0{,}06\%. Transformando em número:\n
\varepsilon_{t}=\frac{\Delta d}{d}=-0{,}06\%=-0{,}0006.

Passo 3

Agora calculamos a tensão (stress) e o módulo de Young E.\n
Lembrando: tensão axial média é \displaystyle \sigma=\frac{F}{A}. Nas provas isso é fundamental — força por área.\n
Calculemos \sigma:\n
\sigma=\frac{F}{A}=\frac{500}{2\times10^{-6}}=2{,}5\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}.
O módulo de Young E (também chamado de módulo de elasticidade longitudinal) é a razão entre tensão e deformação axial na zona elástica linear:\n
E=\frac{\sigma}{\varepsilon_{\ell}}.
Substituindo números:\n
E=\frac{2{,}5\times10^{8}}{0{,}00125}=2{,}0\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}.
Interpretação rápida: E=2{,}0\times10^{11}\\ \mathrm{Pa} (ou 200\\ \mathrm{GPa}), um valor típico de um metal rígido — faz sentido.

Passo 4

Precisamos da razão entre deformações transversal e axial para obter a razão de Poisson \nu, que é necessária para achar G e K.\n
Definição de Poisson: \displaystyle \nu=-\frac{\varepsilon_{t}}{\varepsilon_{\ell}}. É o número que relaciona quanto a peça “aperta” na direção transversal quando é esticada longitudinalmente.\n
Substituindo:\n
\nu=-\frac{-0{,}0006}{0{,}00125}=\frac{0{,}0006}{0{,}00125}=0{,}48.
Então \displaystyle \nu=0{,}48. (Boa observar: \nu próximo de 0{,}5 indica material pouco compressível, típico de metais dúcteis ou borracha líquida — aqui é alto, portanto o bulk modulus ficará grande.)

Passo 5

Cálculo do módulo de cisalhamento G.\n
Fórmula de ligação entre E, G e \nu (derivada da teoria linear da elasticidade isotrópica):\n
E=2G(1+\nu).
Isolando G:\n
G=\frac{E}{2(1+\nu)}.
Substituindo E=2{,}0\times10^{11}\\ \mathrm{Pa} e \nu=0{,}48:\n
G=\frac{2{,}0\times10^{11}}{2(1+0{,}48)}=\frac{2{,}0\times10^{11}}{2(1{,}48)}=\frac{2{,}0\times10^{11}}{2{,}96}=6{,}76\times10^{10}\\ \mathrm{Pa}.
Ou seja \displaystyle G\approx6{,}76\times10^{10}\\ \mathrm{Pa} (aprox. 67{,}6\\ \mathrm{GPa}).

Passo 6

Cálculo do módulo de compressibilidade (bulk modulus) K.\n
Relação entre E, K e \nu para material isotrópico linear:\n
E=3K(1-2\nu).
Isolando K:\n
K=\frac{E}{3(1-2\nu)}.
Substituindo E=2{,}0\times10^{11}\\ \mathrm{Pa} e \nu=0{,}48:\n
1-2\nu=1-2(0{,}48)=1-0{,}96=0{,}04,
K=\frac{2{,}0\times10^{11}}{3(0{,}04)}=\frac{2{,}0\times10^{11}}{0{,}12}=1{,}67\times10^{12}\\ \mathrm{Pa}.
Ou seja \displaystyle K\approx1{,}67\times10^{12}\\ \mathrm{Pa} (aprox. 1{.}67\times10^{3}\\ \mathrm{GPa}). Isso é grande porque \nu está bem próximo de 0{,}5, tornando o material quase incompressível e elevando K.

Resposta

E=2{,}0\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}
G=6{,}76\times10^{10}\\ \mathrm{Pa}
K=1{,}67\times10^{12}\\ \mathrm{Pa}

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