Uma força de 500 N é aplicada sobre um fio de comprimento 4 m e área transversal circular de
. Em reação, o fio é esticado por 5 mm , e o diâmetro diminui por
. Calcule os módulos de Young, de cisalhamento e de compressibilidade.
Passo 1
O enunciado pede que a partir dos dados de tração de um fio se calcule os seguintes módulos: módulo de Young, módulo de cisalhamento e módulo de compressibilidade (bulk modulus).\n
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que temos):\n
(força aplicada)\n
(comprimento inicial do fio)\n
(área da secção transversal, dada em milímetros quadrados)\n
(alongamento do fio)\n
A imagem/descrição indica que o diâmetro do fio diminui em em consequência do alongamento (ou seja, variação percentual do diâmetro é
).\n
Perguntas concretas: calcular\n
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que temos):\n
A imagem/descrição indica que o diâmetro do fio diminui em
Perguntas concretas: calcular\n
- o módulo de Young
;\n - o módulo de cisalhamento
;\n - o módulo de compressibilidade (bulk modulus)
.\n
Passo 2
Primeiro passo prático: passar todas as grandezas para unidades SI e calcular as deformações (strains) necessárias.\n
Conversões e definições que vou usar (explico rapidinho para você lembrar na prova):\n
Conversões e definições que vou usar (explico rapidinho para você lembrar na prova):\n
-
e .\n - A deformação axial (alongamento relativo) é
.\n - A deformação transversal (variação relativa do diâmetro) é
. No enunciado foi dada como uma porcentagem.\n
Agora as conversões numéricas:\n
.\n
.\n
Cálculo da deformação axial:\n
A variação percentual do diâmetro foi dada como
. Transformando em número:\n
Passo 3
Agora calculamos a tensão (stress) e o módulo de Young
.\n
Lembrando: tensão axial média é . Nas provas isso é fundamental — força por área.\n
Calculemos :\n
Lembrando: tensão axial média é
Calculemos
O módulo de Young
(também chamado de módulo de elasticidade longitudinal) é a razão entre tensão e deformação axial na zona elástica linear:\n
Substituindo números:\n
Interpretação rápida:
(ou
), um valor típico de um metal rígido — faz sentido.
Passo 4
Precisamos da razão entre deformações transversal e axial para obter a razão de Poisson
, que é necessária para achar
e
.\n
Definição de Poisson: . É o número que relaciona quanto a peça “aperta” na direção transversal quando é esticada longitudinalmente.\n
Substituindo:\n
Definição de Poisson:
Substituindo:\n
Então
. (Boa observar:
próximo de
indica material pouco compressível, típico de metais dúcteis ou borracha líquida — aqui é alto, portanto o bulk modulus ficará grande.)
Passo 5
Cálculo do módulo de cisalhamento
.\n
Fórmula de ligação entre ,
e
(derivada da teoria linear da elasticidade isotrópica):\n
Fórmula de ligação entre
Isolando
:\n
Substituindo
e
:\n
Ou seja
(aprox.
).
Passo 6
Cálculo do módulo de compressibilidade (bulk modulus)
.\n
Relação entre ,
e
para material isotrópico linear:\n
Relação entre
Isolando
:\n
Substituindo
e
:\n
Ou seja
(aprox.
). Isso é grande porque
está bem próximo de
, tornando o material quase incompressível e elevando
.