(3 p) Como são definidos condutores e semicondutores? O que causa (predominantemente) a resistividade de um condutor e de um semicondutor?

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas claras:
  1. Como são definidos condutores e semicondutores?
  2. O que causa (predominantemente) a resistividade de um condutor e a resistividade de um semicondutor?
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado):
  • Preciso dar definições (ou seja, caracterizar o que distingue cada material).
  • Preciso explicar a causa predominante da resistividade em cada caso (o mecanismo físico mais importante que limita a corrente elétrica).

Passo 2

Definição básica (idéia intuitiva antes da fórmula): pense em elétrons como carros em uma pista. A corrente é o fluxo de carros; a resistividade mede o quanto a pista atrapalha esse fluxo. Agora as definições formais:
Condutor: um material que possui muitos portadores de carga livres à disposição mesmo em temperatura baixa — tipicamente elétrons livres — de modo que permite corrente elétrica alta com baixa resistência.
Semicondutor: um material que possui um número relativamente pequeno de portadores livres em baixas temperaturas porque existe uma “barreira” energética entre estados ocupados e estados disponíveis para conduzir; esse número pode aumentar muito com aquecimento ou dopagem (adicionar impurezas controladas).

Passo 3

Explicando a física mínima com fórmulas-chave (aquelas que você deve lembrar na prova):
Condutividade e resistividade:
\rho=\frac{1}{\sigma}
onde \rho é a resistividade (medida de “dificuldade” para a corrente) e \sigma é a condutividade.
Fórmula da condutividade em termos de portadores:
\sigma = q\,n\,\mu
Expliquei cada símbolo:
  • q: carga do portador (para elétrons q=-e, usamos |q|=e para magnitudes, com e\approx 1{,}6\times10^{-19}\,\mathrm{C}),
  • n: densidade de portadores livres (número por volume, em \mathrm{m^{-3}}),
  • \mu: mobilidade do portador (em \mathrm{m^2/(V\cdot s)}), que mede quão rápido o portador se move sob campo elétrico.
Se há dois tipos de portadores (elétrons e lacunas) a condutividade geral é
\sigma = e\,(n\mu_n + p\mu_p),
onde n e p são as densidades de elétrons e lacunas, e \mu_n,\mu_p são as mobilidades respectivas.

Passo 4

O que limita a corrente num condutor — explicação didática e passo a passo:
  1. Origem dos portadores: em metais (condutores típicos) há bandas eletrônicas parcialmente preenchidas ou bandas sobrepostas, então já existem muitos elétrons “livres” para conduzir. Tipicamente n é da ordem de 10^{28}\,\mathrm{m^{-3}} (ordem de grandeza).
  2. Por que não são perfeitos? Mesmo com muitos elétrons, eles espalham-se (sofrendo colisões) com:
    • vibrações da rede cristalina (fônons) — aumenta com temperatura;
    • impurezas e defeitos cristalinos — independente ou pouco dependente de temperatura (gera resistividade residual);
    • outros elétrons (em geral menos importante para resistividade elétrica que os dois acima).
  3. Modelo simples (Drude) que resume: a condutividade também pode ser escrita como
\sigma = \frac{n e^2 \tau}{m},
onde \tau é o tempo médio entre colisões (tempo de vida livre) e m a massa efetiva do elétron. A mobilidade relaciona-se com \tau por
\mu = \frac{e\tau}{m}.
Portanto, a resistividade numa boa aproximação é controlada por \tau: mais colisões \Rightarrow menor \tau \Rightarrow menor \sigma \Rightarrow maior \rho.
Conclusão (condutor): a causa predominante da resistividade em condutores é a dispersão/difusão dos elétrons causada por fônons (à temperatura ambiente) e por impurezas/defeitos (especialmente a baixas temperaturas). Em palavras simples: em metais há muitos portadores, então o que “pesa” mesmo é quanto esses portadores ficam esbarrando em coisa que atrapalha (a mobilidade).

Passo 5

Comportamento com temperatura para condutores (útil na prova):
  • Em temperatura próxima à ambiente, a resistividade dos metais aumenta aproximadamente linearmente com T porque a amplitude das vibrações da rede (fônons) cresce e aumenta a dispersão.
  • A baixas temperaturas a resistividade tende a um valor residual determinado por impurezas/defeitos (porque o termo dependente de T cai).

Passo 6

O que limita a corrente num semicondutor — explicação passo a passo:
  1. Estrutura eletrônica: em semicondutores existe um gap de energia entre a banda de valência (ocupada) e a banda de condução (vazia) chamado energia de gap E_g. Em temperatura baixa praticamente não há elétrons na banda de condução, então n e p são muito pequenos.
  2. Geração térmica de portadores (intrínsecos): com aquecimento, elétrons são excitados da valência para a condução; a concentração intrínseca de portadores n_i cresce com temperatura segundo, em forma simplificada,
n_i \propto T^{3/2}\,e^{-E_g/(2k_B T)},
onde:
  • E_g é o gap do semicondutor (por ex. E_g de silício \approx 1{,}12\,\mathrm{eV} a 300\\ \mathrm{K}),
  • k_B é a constante de Boltzmann ( k_B\approx 8{,}617\times10^{-5}\,\mathrm{eV/K}),
  • T é a temperatura em kelvin.
  1. Condutividade: como antes,
\sigma = e\,(n\mu_n + p\mu_p).
Em um semicondutor intrínseco n=p=n_i; em dopado, n ou p pode ser muito maior dependendo do tipo de dopagem.
  1. Predominância: nos semicondutores a quantidade de portadores n (ou p) pode variar por ordens de magnitude com temperatura ou dopagem. A dependência exponencial de n_i em função de E_g/(k_B T) torna o número de portadores o fator tipicamente predominante que controla a resistividade. Em outras palavras, uma pequena variação em n causa grande variação em \sigma.
Conclusão (semicondutor): a causa predominante da resistividade em semicondutores é a baixa densidade de portadores livres (determinado pelo gap e pela dopagem); mobilidade importa, mas a variação do número de portadores (frequentemente exponencial com T) costuma dominar o comportamento.

Passo 7

Comportamento com temperatura para semicondutores (resumo útil):
  • Em regime intrínseco (altas temperaturas) a resistividade decresce fortemente com T porque n_i cresce exponencialmente — consequência do termo e^{-E_g/(2k_B T)}.
  • Em regime extrínseco (temperaturas moderadas se o semicondutor estiver dopado) a resistividade é controlada pela concentração de dopantes (quase constante com T até um certo ponto) e pela mobilidade (que decresce com T por espalhamento por fônons).

Passo 8

Comparação direta e simples (coloque isso na cabeça para a prova):
  • Condutor: muitos portadores ( n grande). Resistividade dominada por mecanismos que reduzem a mobilidade ( \mu) — principalmente espalhamento por fônons e por impurezas. Fórmula útil: \sigma \approx n e \mu com n grande; o que muda \sigma é \mu.
  • Semicondutor: poucos portadores a princípio ( n pequeno). Resistividade dominada pela quantidade de portadores n (que depende fortemente de E_g, T, e dopagem). Fórmula útil: \sigma = e(n\mu_n + p\mu_p) — aqui a variação de n ou p costuma ser o fator decisivo.

Passo 9

Exemplos rápidos e intuição:
  • Cobre (metal): n\sim 10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}; mesmo com mobilidade moderada resulta em \sigma\sim 10^7\,\mathrm{S/m}. Resistência cresce com T (fônons).
  • Silício (intrínseco a 300\\ \mathrm{K}): n_i\sim 1{,}5\times10^{16}\,\mathrm{m^{-3}} (muito menor que em metais); por isso \sigma é muito menor — aumentar T ou dopar reduz a resistividade drasticamente.
Dica rápida de prova: escreva e explique \sigma = e(n\mu_n + p\mu_p) e a expressão qualitativa de n_i(T). Depois diga: “no condutor: n grande, \rho controlada por \tau/ \mu; no semicondutor: n pequeno e variável, \rho controlada por n (e por dopagem)”.

Resposta

Condutor: material com bandas parcialmente preenchidas (ou bandas que se sobrepõem), ou seja muitos portadores livres; a resistividade é predominantemente causada pelo espalhamento desses portadores (fônons à temperatura ambiente e impurezas/defeitos a baixas temperaturas), que reduz a mobilidade ( \mu) — exemplificado por \sigma=\dfrac{n e^2\tau}{m}=e n\mu.
Semicondutor: material com um gap de energia E_g pequeno, com densidade de portadores livres baixa a baixa temperatura; a resistividade é predominantemente determinada pelo número de portadores ( n e p), que depende fortemente da temperatura e da dopagem (comportamento típico n_i\propto T^{3/2}e^{-E_g/(2k_B T)}), via \sigma=e(n\mu_n+p\mu_p).

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