Um motorista passa pelo posto de pedágio de uma estrada, situado no quilômetro 67, às 15:41. Às 16:29 é parado no posto da Polícia Rodoviária, situado no quilômetro 175. O patrulheiro pede para ver o recibo do pedágio (que informa data, hora e placa do carro) e aplica multa por excesso de velocidade. Como pode ele ter certeza de que em algum momento o motorista andou a velocidade superior a
?
Passo 1
O enunciado dá claramente os dois pontos por onde o carro passou e os horários correspondentes:
- Passou no pedágio no quilômetro
às . - Foi parado pela polícia no quilômetro
às .
O que se pede: mostrar que o patrulheiro pode ter certeza de que, em algum momento entre esses dois registros, o motorista andou a uma velocidade superior a
.
Passo 2
Calcular a distância percorrida entre os dois pontos (pego os números do enunciado):
Passo 3
Calcular o intervalo de tempo entre
e
(dados do enunciado):
Passo 4
Definir e calcular a velocidade média. Fórmula e significado:
onde
é a distância total percorrida (em km) e
é o tempo total gasto (em horas). Substituindo os valores:
Isto significa que, ao longo do percurso entre os dois pontos, a velocidade média foi
.
Passo 5
Agora a justificativa rigorosa de por que disso segue que em algum instante a velocidade instantânea excedeu
.
Método 1 — Teorema do Valor Médio (apresentação didática):
- Seja
a posição (em km) do carro em função do tempo (em horas). Para um carro em movimento, pode ser razoavelmente considerado contínuo em e diferenciável em . - O Teorema do Valor Médio afirma que existe um instante
tal que
- Como
, existe um instante em que a velocidade instantânea vale . Logo em algum momento a velocidade foi superior a .
Se quiser ver por outro caminho (contradição com uma desigualdade integral), aqui vai uma explicação alternativa, igualmente simples e robusta:
Método 2 — Argumento por contradição (explicação elementar):
- Suponha que em todo instante do trajeto a velocidade instantânea
satisfaça . - Então a distância máxima que se poderia percorrer nesse intervalo de tempo seria
- Mas do enunciado sabemos que a distância real percorrida foi
, e . Contradição. Portanto a suposição estava errada: houve instante(s) com .
Ambos os argumentos mostram de forma limpa e didática que a velocidade instantânea ultrapassou
em algum momento.
Passo 6
Resumo amigável antes da resposta final: a velocidade média calculada a partir dos dados do recibo e da ronda da polícia é
, maior que
; por teorema do cálculo (ou por argumento por contradição) isso implica que em algum instante a velocidade instantânea foi superior a
. O patrulheiro, portanto, pode ter certeza do excesso.
Resposta
Sim. A velocidade média foi de
, logo pelo Teorema do Valor Médio (ou por contradição integral) existiu um instante em que a velocidade instantânea excedeu
.