Um motorista passa pelo posto de pedágio de uma estrada, situado no quilômetro 67, às 15:41. Às 16:29 é parado no posto da Polícia Rodoviária, situado no quilômetro 175. O patrulheiro pede para ver o recibo do pedágio (que informa data, hora e placa do carro) e aplica multa por excesso de velocidade. Como pode ele ter certeza de que em algum momento o motorista andou a velocidade superior a 110 \mathrm{~km} / \mathrm{h} ?

Passo 1

O enunciado dá claramente os dois pontos por onde o carro passou e os horários correspondentes:
  • Passou no pedágio no quilômetro 67 às 15\!:\!41.
  • Foi parado pela polícia no quilômetro 175 às 16\!:\!29.
O que se pede: mostrar que o patrulheiro pode ter certeza de que, em algum momento entre esses dois registros, o motorista andou a uma velocidade superior a 110\\ \mathrm{km/h}.

Passo 2

Calcular a distância percorrida entre os dois pontos (pego os números do enunciado):
\Delta s = 175 - 67 = 108\\ \text{km}.

Passo 3

Calcular o intervalo de tempo entre 15\!:\!41 e 16\!:\!29 (dados do enunciado):
\text{diferença} = 48\\ \text{minutos} = \dfrac{48}{60}\\ \text{h} = 0,8\\ \text{h}.ç

Passo 4

Definir e calcular a velocidade média. Fórmula e significado:
v_{\text{média}}=\dfrac{\Delta s}{\Delta t},é
onde \Delta s é a distância total percorrida (em km) e \Delta t é o tempo total gasto (em horas). Substituindo os valores:
v_{\text{média}}=\dfrac{108}{0,8}=135\\ \mathrm{km/h}.é
Isto significa que, ao longo do percurso entre os dois pontos, a velocidade média foi 135\\ \mathrm{km/h}.

Passo 5

Agora a justificativa rigorosa de por que disso segue que em algum instante a velocidade instantânea excedeu 110\\ \mathrm{km/h}.
Método 1 — Teorema do Valor Médio (apresentação didática):
  • Seja s(t) a posição (em km) do carro em função do tempo t (em horas). Para um carro em movimento, s(t) pode ser razoavelmente considerado contínuo em [t_1,t_2] e diferenciável em (t_1,t_2).
  • O Teorema do Valor Médio afirma que existe um instante c\in(t_1,t_2) tal que
s'\text{(c)}=\dfrac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1}=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}=v_{\text{média}}.é
  • Como v_{\text{média}}=135\\ \mathrm{km/h}é, existe um instante em que a velocidade instantânea s'\text{(c)} vale 135\\ \mathrm{km/h}. Logo em algum momento a velocidade foi superior a 110\\ \mathrm{km/h}.
Se quiser ver por outro caminho (contradição com uma desigualdade integral), aqui vai uma explicação alternativa, igualmente simples e robusta:
Método 2 — Argumento por contradição (explicação elementar):
  • Suponha que em todo instante do trajeto a velocidade instantânea v(t) satisfaça v(t)\le 110\\ \mathrm{km/h}.
  • Então a distância máxima que se poderia percorrer nesse intervalo de tempo seria
\Delta s = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt \le \int_{t_1}^{t_2} 110\,dt = 110\cdot 0,8 = 88\\ \text{km}.
  • Mas do enunciado sabemos que a distância real percorrida foi 108\\ \text{km}, e 108>88. Contradição. Portanto a suposição estava errada: houve instante(s) com v(t)>110\\ \mathrm{km/h}.
Ambos os argumentos mostram de forma limpa e didática que a velocidade instantânea ultrapassou 110\\ \mathrm{km/h} em algum momento.

Passo 6

Resumo amigável antes da resposta final: a velocidade média calculada a partir dos dados do recibo e da ronda da polícia é 135\\ \mathrm{km/h}, maior que 110\\ \mathrm{km/h}; por teorema do cálculo (ou por argumento por contradição) isso implica que em algum instante a velocidade instantânea foi superior a 110\\ \mathrm{km/h}. O patrulheiro, portanto, pode ter certeza do excesso.

Resposta

Sim. A velocidade média foi de 135\\ \mathrm{km/h}, logo pelo Teorema do Valor Médio (ou por contradição integral) existiu um instante em que a velocidade instantânea excedeu 110\\ \mathrm{km/h}.

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