Quantas raízes reais tem o polinômio p(x)=x^{3}+3 x^{2}+9 x+9 ? E q(x)= x^{3}-3 x^{2}-6 x+2 ?

Passo 1

O enunciado pede: determinar quantas raízes reais têm os polinômios \;p(x)=x^{3}+3x^{2}+9x+9\; e \;q(x)=x^{3}-3x^{2}-6x+2\;.
Informações relevantes dadas: os dois são polinômios de grau 3 (cúbicos) com coeficiente líder positivo (coeficiente de x^{3} igual a 1). A tarefa é apenas contar quantas raízes reais cada um tem (podem ser 1 ou 3, já que um cúbico tem sempre pelo menos uma raiz real).

Passo 2

Estratégia geral (didática curta): para contar raízes reais de um polinômio cúbico é útil estudar sua derivada para ver monotonicidade e extremos locais. Se a derivada não se anula (sinal constante), o polinômio é estritamente monotônico e tem exatamente uma raiz real. Se a derivada tem duas raízes reais distintas, o cúbico pode ter três raízes reais distintas (se os valores nos extremos tiverem sinais opostos), ou somente uma (se os extremos estiverem ambos acima ou ambos abaixo do eixo). Vou aplicar isso em cada polinômio.

Passo 3

Analisando p(x). Calculo a derivada:
p'(x)=3x^{2}+6x+9=3\bigl(x^{2}+2x+3\bigr)=3\bigl((x+1)^{2}+2\bigr).
Aqui (x+1)^{2}\ge 0 para todo x, então (x+1)^{2}+2\ge 2>0. Portanto
p'(x)>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Isso significa que p é estritamente crescente em toda a reta.

Passo 4

Consequências para p. Um polinômio cúbico com coeficiente líder positivo satisfaz \lim_{x\to -\infty} p(x)=-\infty e \lim_{x\to+\infty} p(x)=+\infty. Como p é contínuo e estritamente crescente (visto no passo anterior), ele cruza o eixo x exatamente uma vez. Logo p tem exatamente uma raiz real. (Explicação extra: monotonicidade impede que volte a trocar de sinal, portanto apenas um zero.)

Passo 5

Analisando q(x). Calculo a derivada:
q'(x)=3x^{2}-6x-6=3\bigl(x^{2}-2x-2\bigr).
As raízes da quadrática x^{2}-2x-2=0 são
x= \frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}=1\pm\sqrt{3}.
Portanto q' tem duas raízes reais distintas em x_{1}=1-\sqrt{3} e x_{2}=1+\sqrt{3}. Isso significa que q tem um extremo local em x_{1} e outro em x_{2}.

Passo 6

Para decidir se há três raízes reais, calculo os valores de q nesses extremos. Defina t=\sqrt{3}. Primeiro x=1+t:
(1+t)^{3}=1+3t+3t^{2}+t^{3}=1+3t+3\cdot 3 + 3t=10+6t,
pois t^{2}=3 e t^{3}=3t. Também
(1+t)^{2}=1+2t+t^{2}=4+2t.
Assim
q(1+t)=(1+t)^{3}-3(1+t)^{2}-6(1+t)+2=(10+6t)-3(4+2t)-6-6t+2.
Fazendo as simplificações:
q(1+t)=10+6t-12-6t-6-6t+2=-6-6t=-6(1+t).
Como 1+t=1+\sqrt{3}>0, segue q(1+\sqrt{3})=-6(1+\sqrt{3})<0.
Agora para x=1-t:
(1-t)^{3}=1-3t+3t^{2}-t^{3}=1-3t+9-3t=10-6t,
e
(1-t)^{2}=1-2t+t^{2}=4-2t.
Então
q(1-t)=(10-6t)-3(4-2t)-6+6t+2.
Simplificando:
q(1-t)=10-6t-12+6t-6+6t+2=-6+6t=6(t-1)=6(\sqrt{3}-1).
Como \sqrt{3}-1>0, temos q(1-\sqrt{3})=6(\sqrt{3}-1)>0.

Passo 7

Interpretação para q. Nos extremos locais obtivemos
q(1-\sqrt{3})>0\quad\text{(extremo superior)}\qquad\text{e}\qquad q(1+\sqrt{3})<0\quad\text{(extremo inferior)}.
Como \lim_{x\to -\infty} q(x)=-\infty e \lim_{x\to+\infty} q(x)=+\infty, a curva de q sobe vindo de -\infty, atinge um máximo positivo em x=1-\sqrt{3}, desce cortando o eixo x (uma raiz), chega a um mínimo negativo em x=1+\sqrt{3}, e sobe novamente cruzando o eixo outra vez. Portanto q cruza o eixo três vezes e tem três raízes reais distintas. (Argumento baseado no Teorema do Valor Intermediário e na existência de extremos de sinais opostos.)

Resposta

p(x): 1 raiz real
q(x): 3 raízes reais

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