Quantas raízes reais tem o polinômio
? E
?
Passo 1
O enunciado pede: determinar quantas raízes reais têm os polinômios
e
.
Informações relevantes dadas: os dois são polinômios de grau (cúbicos) com coeficiente líder positivo (coeficiente de
igual a
). A tarefa é apenas contar quantas raízes reais cada um tem (podem ser
ou
, já que um cúbico tem sempre pelo menos uma raiz real).
Informações relevantes dadas: os dois são polinômios de grau
Passo 2
Estratégia geral (didática curta): para contar raízes reais de um polinômio cúbico é útil estudar sua derivada para ver monotonicidade e extremos locais. Se a derivada não se anula (sinal constante), o polinômio é estritamente monotônico e tem exatamente uma raiz real. Se a derivada tem duas raízes reais distintas, o cúbico pode ter três raízes reais distintas (se os valores nos extremos tiverem sinais opostos), ou somente uma (se os extremos estiverem ambos acima ou ambos abaixo do eixo). Vou aplicar isso em cada polinômio.
Passo 3
Analisando
. Calculo a derivada:
Aqui
para todo
, então
. Portanto
Isso significa que
é estritamente crescente em toda a reta.
Passo 4
Consequências para
. Um polinômio cúbico com coeficiente líder positivo satisfaz
e
. Como
é contínuo e estritamente crescente (visto no passo anterior), ele cruza o eixo
exatamente uma vez. Logo
tem exatamente uma raiz real. (Explicação extra: monotonicidade impede que volte a trocar de sinal, portanto apenas um zero.)
Passo 5
Analisando
. Calculo a derivada:
As raízes da quadrática
são
Portanto
tem duas raízes reais distintas em
e
. Isso significa que
tem um extremo local em
e outro em
.
Passo 6
Para decidir se há três raízes reais, calculo os valores de
nesses extremos. Defina
. Primeiro
:
pois
e
. Também
Assim
Fazendo as simplificações:
Como
, segue
.
Agora para
:
e
Então
Simplificando:
Como
, temos
.
Passo 7
Interpretação para
. Nos extremos locais obtivemos
Como
e
, a curva de
sobe vindo de
, atinge um máximo positivo em
, desce cortando o eixo
(uma raiz), chega a um mínimo negativo em
, e sobe novamente cruzando o eixo outra vez. Portanto
cruza o eixo três vezes e tem três raízes reais distintas. (Argumento baseado no Teorema do Valor Intermediário e na existência de extremos de sinais opostos.)