Para
, seja
a área compreendida entre o gráfico de
e as retas
e
. Com que velocidade, em relação à variável
, varia a área
? Qual o coeficiente angular da tangente ao gráfico de
no ponto
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
- Informação:
. - Informação: a função é
. - Informação:
é a área compreendida entre o gráfico de , a reta , a reta e a reta . - Pergunta 1: “Com que velocidade, em relação à variável
, varia a área ?” (ou seja, calcular ). - Pergunta 2: “Qual o coeficiente angular da tangente ao gráfico de
no ponto ?” (ou seja, o declive da reta tangente a em ).
Passo 2
Expressar
como uma integral definida — por definição de área sob a curva entre
e
:
Breve explicação didática: a integral definida
mede a área entre o eixo
(a reta
) e a curva
desde
até
. Como está dado
, essa integral mede uma área positiva.
Passo 3
Calcular a integral para obter uma expressão explícita de
.
- Saber a primitiva: a função cujo derivado é
é o logaritmo natural. Ou seja, a primitiva de é , porque
- Aplicar o teorema fundamental do cálculo para a integral definida:
Como
, fica
Passo 4
Determinar a velocidade de variação de
em relação a
, isto é, calcular
.
Método 1 — derivando a expressão encontrada: de
segue
Método 2 — pelo Teorema Fundamental do Cálculo (forma prática): se
com
contínua, então
Aqui
, logo
. Ambos os métodos dão o mesmo resultado.
Passo 5
Interpretação e intuição (importante para a prova):
- A derivada
diz que, para um pequeno incremento , a variação aproximada da área é
- Como
é positiva e decresce quando aumenta, a área cresce quando aumenta, mas cresce mais devagar para maiores. Exemplo numérico: em a velocidade é , em é .
Passo 6
Encontrar o coeficiente angular da tangente ao gráfico de
no ponto
.
- Por definição, o coeficiente angular da tangente em
é avaliado em . - Já calculámos
, logo o coeficiente angular da tangente é .
(Opcional: a equação da reta tangente em
é
caso seja útil na prova.)