Para a>1, seja L(a) a área compreendida entre o gráfico de f(x)=\frac{1}{x} e as retas y=0, x=1 e x=a. Com que velocidade, em relação à variável a, varia a área L(a) ? Qual o coeficiente angular da tangente ao gráfico de L no ponto (a, L(a)) ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Informação: a>1.
  • Informação: a função é f(x)=\dfrac{1}{x}.
  • Informação: L(a) é a área compreendida entre o gráfico de f, a reta y=0, a reta x=1 e a reta x=a.
  • Pergunta 1: “Com que velocidade, em relação à variável a, varia a área L(a)?” (ou seja, calcular \dfrac{dL}{da}).
  • Pergunta 2: “Qual o coeficiente angular da tangente ao gráfico de L no ponto (a,L(a))?” (ou seja, o declive da reta tangente a L em a).

Passo 2

Expressar L(a) como uma integral definida — por definição de área sob a curva entre x=1 e x=a:
L(a)=\int_{1}^{a}\frac{1}{x}\,dx.
Breve explicação didática: a integral definida \int_{1}^{a}\frac{1}{x}\,dx mede a área entre o eixo x (a reta y=0) e a curva y=\dfrac{1}{x} desde x=1 até x=a. Como está dado a>1, essa integral mede uma área positiva.

Passo 3

Calcular a integral para obter uma expressão explícita de L(a).
  • Saber a primitiva: a função cujo derivado é \dfrac{1}{x} é o logaritmo natural. Ou seja, a primitiva de \dfrac{1}{x} é \ln x, porque
\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr)=\frac{1}{x}.
  • Aplicar o teorema fundamental do cálculo para a integral definida:
L(a)=\int_{1}^{a}\frac{1}{x}\,dx=\ln a-\ln 1.
Como \ln 1=0, fica
L(a)=\ln a.

Passo 4

Determinar a velocidade de variação de L em relação a a, isto é, calcular \dfrac{dL}{da}.
Método 1 — derivando a expressão encontrada: de L(a)=\ln a segue
\frac{dL}{da}=\frac{1}{a}.
Método 2 — pelo Teorema Fundamental do Cálculo (forma prática): se
L(a)=\int_{1}^{a} f(x)\,dx
com f contínua, então
\frac{dL}{da}=f(a).
Aqui f(x)=\dfrac{1}{x}, logo \dfrac{dL}{da}=\dfrac{1}{a}. Ambos os métodos dão o mesmo resultado.

Passo 5

Interpretação e intuição (importante para a prova):
  • A derivada \dfrac{dL}{da}=\dfrac{1}{a} diz que, para um pequeno incremento \Delta a, a variação aproximada da área é
\Delta L \approx \frac{1}{a}\,\Delta a.
  • Como \dfrac{1}{a} é positiva e decresce quando a aumenta, a área cresce quando a aumenta, mas cresce mais devagar para a maiores. Exemplo numérico: em a=2 a velocidade é \dfrac{1}{2}, em a=10 é \dfrac{1}{10}.

Passo 6

Encontrar o coeficiente angular da tangente ao gráfico de L no ponto (a,L(a)).
  • Por definição, o coeficiente angular da tangente em x=a é \dfrac{dL}{da} avaliado em a.
  • Já calculámos \dfrac{dL}{da}=\dfrac{1}{a}, logo o coeficiente angular da tangente é \dfrac{1}{a}.
(Opcional: a equação da reta tangente em (a,L(a)) é
y=L(a)+\frac{1}{a}\,(x-a)=\ln a+\frac{1}{a}\,(x-a),
caso seja útil na prova.)

Resposta

\dfrac{dL}{da}=\dfrac{1}{a}
\text{Coeficiente angular da tangente em }(a,L(a))=\dfrac{1}{a}

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