Um motorista viajando a 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}(72 \mathrm{~km} / \mathrm{h}) avista um obstáculo e freia abruptamente. Se a desaceleração máxima do carro é de -4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, qual a distância mínima que o carro percorrerá até parar completamente?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e faz esta pergunta.
  • Velocidade inicial do carro: v_0 = 20\\ \mathrm{m/s} (já convertido de 72\\ \mathrm{km/h}).
  • Desaceleração constante máxima: a = -4\\ \mathrm{m/s^2}.
  • O motorista freia até o carro parar completamente, ou seja, velocidade final v = 0.
  • Pergunta: qual a distância mínima que o carro percorre desde o início da frenagem até parar? (ou seja, a distância de frenagem).

Passo 2

Conceitos básicos de cinemática (explicação didática e definição de variáveis).
  • Quando a aceleração é constante (aqui é constante e negativa — desaceleração), podemos usar as equações do movimento retilíneo uniformemente variado.
  • Variáveis e seus significados:
    • v_0: velocidade inicial (aqui 20\\ \mathrm{m/s}).
    • v: velocidade final (aqui 0\\ \mathrm{m/s}).
    • a: aceleração (aqui a=-4\\ \mathrm{m/s^2}).
    • t: tempo necessário para a mudança de velocidade.
    • \Delta x = x - x_0: deslocamento durante a frenagem (é o que queremos).
  • Duas equações fundamentais para aceleração constante: v = v_0 + a t
x = x_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2
  • Estratégia: eliminar o tempo t entre as duas equações para obter uma relação entre v, v_0, a e \Delta x. Essa relação nos dá diretamente a distância em termos das velocidades e da aceleração, sem precisar achar t primeiro.

Passo 3

Derivação da fórmula que liga velocidades, aceleração e deslocamento (passo a passo).
  • Da primeira equação segue t = \frac{v - v_0}{a}.
  • Substituindo esse t na equação da posição: \Delta x = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2.Substituindo t: \Delta x = v_0\left(\frac{v - v_0}{a}\right) + \tfrac{1}{2}a\left(\frac{v - v_0}{a}\right)^2.
  • Fazer a álgebra (simplificar termo a termo): \Delta x = \frac{v_0(v - v_0)}{a} + \tfrac{1}{2}a\frac{(v - v_0)^2}{a^2} = \frac{v_0(v - v_0)}{a} + \frac{(v - v_0)^2}{2a}.
  • Colocar sobre denominador comum 2a e expandir: \Delta x = \frac{2v_0(v - v_0) + (v - v_0)^2}{2a}.Expandindo o numerador: 2v_0(v - v_0) + (v - v_0)^2 = 2v_0 v - 2v_0^2 + v^2 - 2v v_0 + v_0^2 = v^2 - v_0^2.
  • Portanto obtemos a relação clássica: v^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta x,que reescrita para \Delta x \Delta x = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}.
  • Observação prática: essa fórmula é muito útil em provas porque evita ter que calcular o tempo; ela vem do mesmo conjunto de equações que aprendemos, e já mostramos a derivação para você não depender de memorização cega.

Passo 4

Aplicar a fórmula ao caso de frenagem até parar (substituir valores).
  • Aqui a velocidade final é v=0. Substituindo em \Delta x = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}temos \Delta x = \frac{0^2 - (20)^2}{2\cdot(-4)}.
  • Calcular numerador e denominador passo a passo: 0^2 - (20)^2 = -400, \qquad 2\cdot(-4) = -8.
  • Logo \Delta x = \frac{-400}{-8} = 50.
  • Unidades: como v estava em \mathrm{m/s} e a em \mathrm{m/s^2}, o resultado fica em metros, então \Delta x = 50\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Cheque físico e comentário final (interpretação e dica de prova).
  • O resultado é positivo, como deve ser para uma distância. O sinal negativo da aceleração só indica que a velocidade diminui.
  • Tempo de parada (informação adicional que ajuda a intuir o resultado): usando v = v_0 + a t, t = \frac{v - v_0}{a} = \frac{0 - 20}{-4} = 5\\ \mathrm{s}.Então o carro leva 5\\ \mathrm{s} para parar e percorre 50\\ \mathrm{m} nesse intervalo.
  • Dica de prova/prática: sempre verifique unidades e sinais; se a aceleração for negativa (desaceleração), a fórmula \Delta x = (v^2 - v_0^2)/(2a) continua válida — cuidado apenas ao interpretar o sinal no numerador e denominador.

Resposta

50\\ \mathrm{m}

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