Um móvel realiza MUV sobre uma trajetória retilínea de acordo com a função s(t)=30+9 t-3 t^{2} (no SI). Determine a função horária da velocidade, sua aceleração e esboce os gráficos s x tev x t para este móvel.

Passo 1

O enunciado dá a função horária do móvel (posição em função do tempo) e pede três coisas:
  • Determinar a função horária da velocidade v(t).
  • Determinar a função horária da aceleração a(t).
  • Esboçar os gráficos s\times t e v\times t para esse móvel.
Informações fornecidas:
  • A posição é \;s(t)=30+9t-3t^{2}\; (unidades do SI: \text{m} para s e \text{s} para t).
  • Não há mais dados numéricos no enunciado; assumir movimento sobre reta e tempo t\ge0 para interpretação física.

Passo 2

O que é velocidade horária e como calculá-la (aula rápida): a velocidade instantânea v(t) é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, isto é a derivada de s(t) em relação a t. Em símbolos:
v(t)=\frac{ds}{dt}.
Regra prática para derivar polinômios (power rule): se f(t)=k\,t^{n} com constante k e inteiro n, então
\frac{d}{dt}\bigl(k\,t^{n}\bigr)=k\,n\,t^{n-1}.
Aplicando termo a termo em \;s(t)=30+9t-3t^{2}:
  • A derivada de 30 em relação a t é 0 (constante não varia).
  • A derivada de 9t é 9 (aqui k=9, n=1 então 9\cdot1\cdot t^{0}=9).
  • A derivada de -3t^{2} é -3\cdot2\cdot t^{1}=-6t.
Colocando tudo junto:
v(t)=9-6t.
Comente rápido sobre unidades: como s está em metros e t em segundos, v(t) está em \text{m/s}.

Passo 3

O que é aceleração e como calculá-la (mini-aula): a aceleração instantânea a(t) é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja a derivada de v(t). Em símbolos:
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}s}{dt^{2}}.
Agora derivamos v(t)=9-6t termo a termo:
  • A derivada de 9 é 0.
  • A derivada de -6t é -6 (porque -6\cdot1\cdot t^{0}=-6).
Logo:
a(t)=-6.
Interpretação: aceleração constante e negativa; unidade \text{m/s}^{2}.

Passo 4

Pontos importantes para desenhar os gráficos e interpretação física (vai ajudar no esboço):
Calcule valores úteis (mostro passo a passo para você reproduzir sem calculadora):
  • Posição inicial: \;s(0)=30+9\cdot0-3\cdot0^{2}=30\;\text{m}.
  • Velocidade inicial: \;v(0)=9-6\cdot0=9\;\text{m/s}.
Quando o móvel pára momentaneamente? Resolver v(t)=0:
9-6t=0 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}=1,5\\ \text{s}.
Nesse instante a posição é
s(1,5)=30+9\cdot1,5-3\cdot(1,5)^{2}.
Calcule passo a passo: 9\cdot1,5=13,5. (1,5)^{2}=2,25. Então -3\cdot2,25=-6,75. Somando,
s(1,5)=30+13,5-6,75=36,75\\ \text{m}.
Observe: o tempo em que v=0 coincide com o vértice da parábola s(t) (máximo), porque aceleração é negativa (concavidade para baixo).
Outros pontos para ajudar no desenho:
  • s(2)=30+9\cdot2-3\cdot4=30+18-12=36\\ \text{m}.
  • s(3)=30+27-27=30\\ \text{m}. (volta ao valor inicial em t=3\\ \text{s})
  • v(2)=9-6\cdot2=9-12=-3\\ \text{m/s}.
  • v(3)=9-6\cdot3=9-18=-9\\ \text{m/s}.
Interpretação física rápida e motivadora: o móvel parte com velocidade positiva 9\\ \text{m/s}, desacelera continuamente (porque a=-6), para em t=1,5\\ \text{s} no ponto de posição máxima 36,75\\ \text{m} e depois passa a ter velocidade negativa, retornando no sentido oposto.

Passo 5

Como esboçar o gráfico de s versus t (instruções práticas passo a passo):
  1. Faça dois eixos perpendiculares: eixo horizontal para t (em \text{s}) e vertical para s (em \text{m}).
  2. Marque t=0 e s(0)=30. Esse é o ponto inicial (0,30).
  3. Marque o vértice em t=1,5 com s(1,5)=36,75. Esse é o máximo da parábola.
  4. Marque t=3 com s(3)=30 para ver a simetria.
  5. Ligue os pontos com uma curva suave em forma de parábola voltada para baixo (concavidade para baixo porque coeficiente de t^{2} é -3). A curva sobe de t=0 até t=1,5 e depois desce.
  6. Opcional: desenhe tangentes nos pontos se quiser ver as inclinações; a inclinação da tangente em cada t é v(t).

Passo 6

Como esboçar o gráfico de v versus t (instruções práticas passo a passo):
  1. Eixos: t horizontal (s) e v vertical (m/s).
  2. Traçar a reta v(t)=9-6t: é uma linha reta com intercepto em v(0)=9 e coeficiente angular -6 (desce 6 unidades de velocidade para cada 1 s).
  3. Marque o ponto onde cruza o eixo t: t=1,5 com v=0.
  4. Marque alguns pontos: (0,9),\\ (1,5,0),\\ (2,-3),\\ (3,-9) e passe uma reta por eles.
  5. O gráfico é uma linha reta decrescente indefinidamente (mas fisicamente só faz sentido plotar para t\ge0 ou intervalo de interesse).

Passo 7

Relações entre os gráficos (observações úteis para a prova):
  • A inclinação instantânea da curva s(t) em cada t é precisamente o valor de v(t).
  • A inclinação da reta v(t) (que é constante) é a aceleração a(t)=-6.
  • O máximo de s(t) ocorre quando v(t)=0 (a parábola atinge o pico quando a reta v cruza zero).
  • Como a<0, o móvel desacelera enquanto v>0 e acelera no sentido negativo depois de v ficar negativo.

Resposta

v(t)=9-6t\\ \text{(m/s)}
a(t)=-6\\ \text{(m/s}^{2}\text{)}
Esboço: s(t) é uma parábola côncava para baixo com vértice em t=1,5\\ \text{s}, s(1,5)=36,75\\ \text{m}; v(t) é uma reta decrescente (coeficiente angular -6) com v(0)=9\\ \text{m/s} e v(1,5)=0.

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