Um móvel realiza MUV sobre uma trajetória retilínea de acordo com a função
(no SI). Determine a função horária da velocidade, sua aceleração e esboce os gráficos s
tev
t para este móvel.
Passo 1
O enunciado dá a função horária do móvel (posição em função do tempo) e pede três coisas:
- Determinar a função horária da velocidade
. - Determinar a função horária da aceleração
. - Esboçar os gráficos
e para esse móvel.
Informações fornecidas:
- A posição é
(unidades do SI: para e para ). - Não há mais dados numéricos no enunciado; assumir movimento sobre reta e tempo
para interpretação física.
Passo 2
O que é velocidade horária e como calculá-la (aula rápida): a velocidade instantânea
é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, isto é a derivada de
em relação a
. Em símbolos:
Regra prática para derivar polinômios (power rule): se
com constante
e inteiro
, então
Aplicando termo a termo em
:
- A derivada de
em relação a é (constante não varia). - A derivada de
é (aqui , então ). - A derivada de
é .
Colocando tudo junto:
Comente rápido sobre unidades: como
está em metros e
em segundos,
está em
.
Passo 3
O que é aceleração e como calculá-la (mini-aula): a aceleração instantânea
é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja a derivada de
. Em símbolos:
Agora derivamos
termo a termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
é (porque ).
Logo:
Interpretação: aceleração constante e negativa; unidade
.
Passo 4
Pontos importantes para desenhar os gráficos e interpretação física (vai ajudar no esboço):
Calcule valores úteis (mostro passo a passo para você reproduzir sem calculadora):
- Posição inicial:
- Velocidade inicial:
Quando o móvel pára momentaneamente? Resolver
:
Nesse instante a posição é
Calcule passo a passo:
.
. Então
. Somando,
Observe: o tempo em que
coincide com o vértice da parábola
(máximo), porque aceleração é negativa (concavidade para baixo).
Outros pontos para ajudar no desenho:
-
-
(volta ao valor inicial em ) -
-
Interpretação física rápida e motivadora: o móvel parte com velocidade positiva
, desacelera continuamente (porque
), para em
no ponto de posição máxima
e depois passa a ter velocidade negativa, retornando no sentido oposto.
Passo 5
Como esboçar o gráfico de
versus
(instruções práticas passo a passo):
- Faça dois eixos perpendiculares: eixo horizontal para
(em ) e vertical para (em ). - Marque
e . Esse é o ponto inicial . - Marque o vértice em
com . Esse é o máximo da parábola. - Marque
com para ver a simetria. - Ligue os pontos com uma curva suave em forma de parábola voltada para baixo (concavidade para baixo porque coeficiente de
é ). A curva sobe de até e depois desce. - Opcional: desenhe tangentes nos pontos se quiser ver as inclinações; a inclinação da tangente em cada
é .
Passo 6
Como esboçar o gráfico de
versus
(instruções práticas passo a passo):
- Eixos:
horizontal (s) e vertical (m/s). - Traçar a reta
: é uma linha reta com intercepto em e coeficiente angular (desce 6 unidades de velocidade para cada 1 s). - Marque o ponto onde cruza o eixo
: com . - Marque alguns pontos:
e passe uma reta por eles. - O gráfico é uma linha reta decrescente indefinidamente (mas fisicamente só faz sentido plotar para
ou intervalo de interesse).
Passo 7
Relações entre os gráficos (observações úteis para a prova):
- A inclinação instantânea da curva
em cada é precisamente o valor de . - A inclinação da reta
(que é constante) é a aceleração . - O máximo de
ocorre quando (a parábola atinge o pico quando a reta cruza zero). - Como
, o móvel desacelera enquanto e acelera no sentido negativo depois de ficar negativo.
Resposta
Esboço: