Um móvel realiza MUV sobre uma trajetória retilínea de acordo com a função \mathrm{s}(\mathrm{t})=12-8 \mathrm{t}+\mathrm{t}^{2} (no SI). Determine a função horária da velocidade, sua aceleração e esboce os gráficos s x tev x t para este móvel.

Passo 1

O enunciado nos dá a função horária da posição (no SI):
s(t)=12-8t+t^{2}.
As perguntas são:
  • Determinar a função horária da velocidade v(t).
  • Determinar a aceleração a(t).
  • Esboçar (desenhar/interpretar) os gráficos s versus t, v versus t e a versus t.
Informações explícitas que temos:
  • s(t) está dada em metros, t em segundos.
  • Não foi dada nenhuma outra restrição de domínio, então consideraremos t\ge0 para interpretar o movimento prático (mas as fórmulas valem para todo t).

Passo 2

Conceitos úteis (explicados passo a passo, sem pressupor que já sabe):
  • A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo. Em palavras: a derivada mede a inclinação (ou taxa de variação) da função posição; essa taxa é a velocidade.
  • A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo (ou a segunda derivada da posição). Em palavras: a aceleração mede como a velocidade varia com o tempo.
  • Regra prática para derivar polinômios (regra do “expoente sobe e diminui” — power rule): se f(t)=t^{n} então
\frac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1}.
Aplicações simples: \dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t; \dfrac{d}{dt}(t)=1; \dfrac{d}{dt}(\text{constante})=0.
  • Quando houver um coeficiente constante multiplicando a função, a derivada é esse coeficiente vezes a derivada da função: \dfrac{d}{dt}(c\cdot g(t))=c\cdot g'(t).
Agora que temos essas regras, vamos aplicá-las diretamente à função dada.

Passo 3

Calcular a velocidade v(t)=\dfrac{ds}{dt}.
Começamos derivando termo a termo a função
s(t)=12-8t+t^{2}.
  • A derivada de 12 é 0.
  • A derivada de -8t é -8 (porque \dfrac{d}{dt}(t)=1, então -8\cdot1=-8).
  • A derivada de t^{2} é 2t (pela regra do expoente).
Somando os resultados:
v(t)=\frac{ds}{dt}=0-8+2t.
Simplificando a ordem dos termos:
v(t)=2t-8.
Unidade: metros por segundo ( \mathrm{m/s}). Dica prática: a forma v(t)=2t-8 mostra que a velocidade é uma função linear do tempo (reta).

Passo 4

Calcular a aceleração a(t)=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d^{2}s}{dt^{2}}.
Derivamos v(t)=2t-8 termo a termo:
  • A derivada de 2t é 2.
  • A derivada de -8 é 0.
Logo:
a(t)=\frac{dv}{dt}=2+0=2.
Portanto
a(t)=2.
Unidade: metros por segundo ao quadrado ( \mathrm{m/s^{2}}). Observação física e didática: a aceleração é constante e positiva; isso significa que a velocidade cresce linearmente com taxa 2\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Pontos importantes para interpretar e esboçar os gráficos (cálculos passo a passo, úteis para desenhar sem calculadora):
Valores iniciais:
s(0)=12-8\cdot0+0^{2}=12\quad(\mathrm{m}),
v(0)=2\cdot0-8=-8\quad(\mathrm{m/s}).
Interpretação: no instante inicial t=0 o móvel está em 12\\ \mathrm{m} e tem velocidade negativa -8\\ \mathrm{m/s} (está se movendo no sentido negativo).
Quando a velocidade se anula (ponto de inversão de sentido):
v(t)=0 \iff 2t-8=0 \iff t=4\\ \mathrm{s}.
Nesse instante:
s(4)=12-8\cdot4+4^{2}=12-32+16=-4\quad(\mathrm{m}).
Interpretação: no instante t=4\\ \mathrm{s} o móvel pára momentaneamente em s=-4\\ \mathrm{m} (vértice da parábola) e depois inverte o sentido (passa de velocidade negativa para positiva).
Tabela de pontos úteis (ajuda a desenhar os gráficos à mão):
\begin{array}{c|cc} t\\ (\mathrm{s}) & s(t)\\ (\mathrm{m}) & v(t)\\ (\mathrm{m/s})\\hline 0 & 12 & -8\\\\ 1 & 12-8+1=5 & -6\\\\ 2 & 12-16+4=0 & -4\\\\ 3 & 12-24+9=-3 & -2\\\\ 4 & -4 & 0\\\\ 5 & 12-40+25=-3 & 2\\\\ 6 & 12-48+36=0 & 4 \end{array}

Passo 6

Como esboçar o gráfico s versus t (orientações práticas para desenhar à mão):
  • s(t)=t^{2}-8t+12 é uma parábola com coeficiente de t^{2} positivo, portanto abre para cima.
  • O vértice da parábola (mínimo) está em t_{\text{vértice}}=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-(-8)}{2\cdot1}=4\\ \mathrm{s}é. O valor mínimo é s(4)=-4\\ \mathrm{m}. Portanto o vértice é (4,-4).
  • No eixo vertical (quando t=0) s(0)=12. Usar os pontos da tabela para marcar vários pontos e desenhar a curva suave passando por eles.
  • A parábola é simétrica em relação à reta vertical t=4.
  • A inclinação da parábola em cada ponto é numericamente igual a v(t) naquele ponto; por exemplo, em t=0 a inclinação é -8 (decaindo rapidamente), e em t=6 a inclinação é 4 (subindo).

Passo 7

Como esboçar o gráfico v versus t (orientações práticas):
  • v(t)=2t-8 é uma reta de coeficiente angular 2 e intercepto vertical -8.
  • Marca os pontos da tabela: (0,-8), (4,0), (6,4) e desenhe a reta passando por eles.
  • A inclinação da reta (slope) é 2, que é exatamente o valor da aceleração. Isso ilustra a relação: aceleração constante implica velocidade linear.
  • O sinal de v indica sentido do movimento: para t<4 tem v<0, para t>4 tem v>0.

Passo 8

Como esboçar o gráfico a versus t:
  • a(t)=2 é uma constante. No gráfico, desenhar uma linha horizontal em a=2.
  • Unidade no eixo vertical: \mathrm{m/s^{2}}. O gráfico mostra claramente que a aceleração não muda com o tempo.

Passo 9

Relações entre os gráficos (para ajudar na prova):
  • A inclinação do gráfico s versus t em cada ponto é o valor do gráfico v naquele t.
  • A inclinação do gráfico v versus t é o valor do gráfico a (no caso, constante e igual a 2).
  • O ponto onde a reta v(t) cruza o eixo t (ou seja, v=0) corresponde ao vértice da parábola s(t) (ponto de mínima posição quando aceleração positiva).

Resposta

v(t)=2t-8\\ \mathrm{m/s}
a(t)=2\\ \mathrm{m/s^{2}}

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