Um móvel realiza MUV sobre uma trajetória retilínea de acordo com a função
(no SI). Determine a função horária da velocidade, sua aceleração e esboce os gráficos s
tev
t para este móvel.
Passo 1
O enunciado nos dá a função horária da posição (no SI):
As perguntas são:
- Determinar a função horária da velocidade
. - Determinar a aceleração
. - Esboçar (desenhar/interpretar) os gráficos
versus , versus e versus .
Informações explícitas que temos:
-
está dada em metros, em segundos. - Não foi dada nenhuma outra restrição de domínio, então consideraremos
para interpretar o movimento prático (mas as fórmulas valem para todo ).
Passo 2
Conceitos úteis (explicados passo a passo, sem pressupor que já sabe):
- A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo. Em palavras: a derivada mede a inclinação (ou taxa de variação) da função posição; essa taxa é a velocidade.
- A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo (ou a segunda derivada da posição). Em palavras: a aceleração mede como a velocidade varia com o tempo.
- Regra prática para derivar polinômios (regra do “expoente sobe e diminui” — power rule): se
então
Aplicações simples:
;
;
.
- Quando houver um coeficiente constante multiplicando a função, a derivada é esse coeficiente vezes a derivada da função:
.
Agora que temos essas regras, vamos aplicá-las diretamente à função dada.
Passo 3
Calcular a velocidade
.
Começamos derivando termo a termo a função
- A derivada de
é . - A derivada de
é (porque , então ). - A derivada de
é (pela regra do expoente).
Somando os resultados:
Simplificando a ordem dos termos:
Unidade: metros por segundo (
). Dica prática: a forma
mostra que a velocidade é uma função linear do tempo (reta).
Passo 4
Calcular a aceleração
.
Derivamos
termo a termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Logo:
Portanto
Unidade: metros por segundo ao quadrado (
). Observação física e didática: a aceleração é constante e positiva; isso significa que a velocidade cresce linearmente com taxa
.
Passo 5
Pontos importantes para interpretar e esboçar os gráficos (cálculos passo a passo, úteis para desenhar sem calculadora):
Valores iniciais:
Interpretação: no instante inicial
o móvel está em
e tem velocidade negativa
(está se movendo no sentido negativo).
Quando a velocidade se anula (ponto de inversão de sentido):
Nesse instante:
Interpretação: no instante
o móvel pára momentaneamente em
(vértice da parábola) e depois inverte o sentido (passa de velocidade negativa para positiva).
Tabela de pontos úteis (ajuda a desenhar os gráficos à mão):
Passo 6
Como esboçar o gráfico
versus
(orientações práticas para desenhar à mão):
-
é uma parábola com coeficiente de positivo, portanto abre para cima. - O vértice da parábola (mínimo) está em
. O valor mínimo é . Portanto o vértice é . - No eixo vertical (quando
) . Usar os pontos da tabela para marcar vários pontos e desenhar a curva suave passando por eles. - A parábola é simétrica em relação à reta vertical
. - A inclinação da parábola em cada ponto é numericamente igual a
naquele ponto; por exemplo, em a inclinação é (decaindo rapidamente), e em a inclinação é (subindo).
Passo 7
Como esboçar o gráfico
versus
(orientações práticas):
-
é uma reta de coeficiente angular e intercepto vertical . - Marca os pontos da tabela:
, , e desenhe a reta passando por eles. - A inclinação da reta (slope) é
, que é exatamente o valor da aceleração. Isso ilustra a relação: aceleração constante implica velocidade linear. - O sinal de
indica sentido do movimento: para tem , para tem .
Passo 8
Como esboçar o gráfico
versus
:
-
é uma constante. No gráfico, desenhar uma linha horizontal em . - Unidade no eixo vertical:
. O gráfico mostra claramente que a aceleração não muda com o tempo.
Passo 9
Relações entre os gráficos (para ajudar na prova):
- A inclinação do gráfico
versus em cada ponto é o valor do gráfico naquele . - A inclinação do gráfico
versus é o valor do gráfico (no caso, constante e igual a ). - O ponto onde a reta
cruza o eixo (ou seja, ) corresponde ao vértice da parábola (ponto de mínima posição quando aceleração positiva).