O movimento de um came é definido pela relação theta=t^{3}-9 t^{2}+15 t, sendo theta expresso em radianos e t em segundos. Determine a coordenada, a velocidade e a aceleração angulares do came quando:
b) t=3 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a posição angular do came em função do tempo:
\theta(t)=t^{3}-9t^{2}+15t,
onde \theta está em radianos e t em segundos. A pergunta pede: determinar a coordenada angular, a velocidade angular e a aceleração angular do came quando t=3\\ \mathrm{s}.
Informações relevantes: a expressão de \theta(t) e o instante t=3\\ \mathrm{s}.

Passo 2

O que queremos calcular exatamente (definições e sentido físico, explicadas de forma simples):
  • A coordenada angular é \theta(t): o ângulo em função do tempo (em rad). É só avaliar a expressão em t=3.
  • A velocidade angular \omega(t) é a taxa de variação de \theta com o tempo: matematicamente \omega(t)=\dfrac{d\theta}{dt} (unidade: rad/s). Ela nos diz quão rápido o ângulo está mudando.
  • A aceleração angular \alpha(t) é a taxa de variação da velocidade angular: \alpha(t)=\dfrac{d\omega}{dt}=\dfrac{d^{2}\theta}{dt^{2}} (unidade: rad/s ^2). Ela indica se a velocidade está aumentando ou diminuindo.

Passo 3

Regras de derivação que usaremos (explicadas passo a passo):
  • Regra do poder (power rule): para t^{n}, \dfrac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{n-1}. Ex.: \dfrac{d}{dt}t^{3}=3t^{2}.
  • Regra da constante multiplicativa: se temos a\cdot f(t) com a constante, \dfrac{d}{dt}[a\,f(t)]=a\,\dfrac{d}{dt}f(t). Ex.: \dfrac{d}{dt}[9t^{2}]=9\cdot\dfrac{d}{dt}t^{2}=9\cdot 2t=18t.
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ex.: \dfrac{d}{dt}[t^{3}-9t^{2}+15t]=\dfrac{d}{dt}t^{3}-\dfrac{d}{dt}9t^{2}+\dfrac{d}{dt}15t.

Passo 4

Calcular a velocidade angular \omega(t)=\dfrac{d\theta}{dt} derivando termo a termo:
Usando as regras acima,
\omega(t)=\dfrac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr)-\dfrac{d}{dt}\bigl(9t^{2}\bigr)+\dfrac{d}{dt}\bigl(15t\bigr).
Aplicando a regra do poder e a multiplicativa:
\dfrac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr)=3t^{2},\qquad \dfrac{d}{dt}\bigl(9t^{2}\bigr)=9\cdot 2t=18t,\qquad \dfrac{d}{dt}\bigl(15t\bigr)=15.
Portanto,
\omega(t)=3t^{2}-18t+15.

Passo 5

Calcular a aceleração angular \alpha(t)=\dfrac{d\omega}{dt}=\dfrac{d^{2}\theta}{dt^{2}} derivando \omega(t):
\alpha(t)=\dfrac{d}{dt}\bigl(3t^{2}-18t+15\bigr).
Derivando termo a termo:
\dfrac{d}{dt}\bigl(3t^{2}\bigr)=3\cdot 2t=6t,\qquad \dfrac{d}{dt}\bigl(-18t\bigr)=-18,\qquad \dfrac{d}{dt}\bigl(15\bigr)=0.
Logo
\alpha(t)=6t-18.

Passo 6

Agora avaliamos cada função em t=3\\ \mathrm{s}. Primeiro a coordenada angular \theta(3):
\theta(3)=3^{3}-9\cdot 3^{2}+15\cdot 3.
Calcule passo a passo:
3^{3}=27,\qquad 9\cdot 3^{2}=9\cdot 9=81,\qquad 15\cdot 3=45.
Então
\theta(3)=27-81+45.
Compute a soma/subtração:
27-81=-54,\qquad -54+45=-9.
Portanto \theta(3)=-9\\ \text{rad}.

Passo 7

Agora a velocidade angular \omega(3). Usamos \omega(t)=3t^{2}-18t+15:
\omega(3)=3\cdot 3^{2}-18\cdot 3+15.
Calcule passo a passo:
3\cdot 3^{2}=3\cdot 9=27,\qquad 18\cdot 3=54.
Então
\omega(3)=27-54+15.
Compute:
27-54=-27,\qquad -27+15=-12.
Portanto \omega(3)=-12\\ \text{rad/s}.

Passo 8

Agora a aceleração angular \alpha(3). Usamos \alpha(t)=6t-18:
\alpha(3)=6\cdot 3-18.
Calcule:
6\cdot 3=18,\qquad 18-18=0.
Portanto \alpha(3)=0\\ \text{rad/s}^{2}.

Passo 9

Interpretação rápida e incentivo: a posição angular em t=3\\ \mathrm{s} é -9\\ \mathrm{rad} (o sinal indica direção), a velocidade angular é negativa -12\\ \mathrm{rad/s} (está girando no sentido negativo) e a aceleração é 0\\ \mathrm{rad/s}^{2} (no instante 3\\ \mathrm{s} a velocidade está mudando momentaneamente com taxa zero). Bom trabalho por chegar até aqui — você conseguiu seguir derivadas e avaliar no ponto, que é exatamente o que costuma cair na prova!

Resposta

\theta(3)=-9\\ \mathrm{rad}
\omega(3)=-12\\ \mathrm{rad/s}
\alpha(3)=0\\ \mathrm{rad/s^{2}}

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