O movimento de um came é definido pela relação
, sendo
expresso em radianos e t em segundos. Determine a coordenada, a velocidade e a aceleração angulares do came quando:
b)
.
b)
Passo 1
O enunciado dá a posição angular do came em função do tempo:
onde
está em radianos e
em segundos. A pergunta pede: determinar a coordenada angular, a velocidade angular e a aceleração angular do came quando
.
Informações relevantes: a expressão de e o instante
.
Informações relevantes: a expressão de
Passo 2
O que queremos calcular exatamente (definições e sentido físico, explicadas de forma simples):
- A coordenada angular é
: o ângulo em função do tempo (em rad). É só avaliar a expressão em . - A velocidade angular
é a taxa de variação de com o tempo: matematicamente (unidade: rad/s). Ela nos diz quão rápido o ângulo está mudando. - A aceleração angular
é a taxa de variação da velocidade angular: (unidade: rad/s ). Ela indica se a velocidade está aumentando ou diminuindo.
Passo 3
Regras de derivação que usaremos (explicadas passo a passo):
- Regra do poder (power rule): para
, . Ex.: . - Regra da constante multiplicativa: se temos
com constante, . Ex.: . - Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ex.:
.
Passo 4
Calcular a velocidade angular
derivando termo a termo:
Usando as regras acima,
Usando as regras acima,
Aplicando a regra do poder e a multiplicativa:
Portanto,
Passo 5
Calcular a aceleração angular
derivando
:
Derivando termo a termo:
Logo
Passo 6
Agora avaliamos cada função em
. Primeiro a coordenada angular
:
Calcule passo a passo:
Então
Compute a soma/subtração:
Portanto
.
Passo 7
Agora a velocidade angular
. Usamos
:
Calcule passo a passo:
Então
Compute:
Portanto
.
Passo 8
Agora a aceleração angular
. Usamos
:
Calcule:
Portanto
.
Passo 9
Interpretação rápida e incentivo: a posição angular em
é
(o sinal indica direção), a velocidade angular é negativa
(está girando no sentido negativo) e a aceleração é
(no instante
a velocidade está mudando momentaneamente com taxa zero). Bom trabalho por chegar até aqui — você conseguiu seguir derivadas e avaliar no ponto, que é exatamente o que costuma cair na prova!