O movimento de um volante oscilante é definido pela relação:
\theta=\theta_{0} \operatorname{sen}(\pi t / T)-0,5 \theta_{0} \operatorname{sen}(2 \pi t / T),
sendo \theta expresso em radianos e t em segundos. Sabendo que \theta_{0}=8 \mathrm{rad} \mathrm{e} \mathrm{T=2} \mathrm{s}, a coordenada, a velocidade e a aceleração angulares do volante quando
a) t=0 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a expressão do deslocamento angular do volante:
\theta=\theta_{0}\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi t}{T}\right)-0,5\,\theta_{0}\operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi t}{T}\right),
e pede: a coordenada angular, a velocidade angular e a aceleração angular do volante quando t=0\\ \mathrm{s}.
As informações numéricas fornecidas no enunciado são:
\theta_{0}=8\\ \mathrm{rad},\qquad T=2\\ \mathrm{s},\qquad t=0\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Primeiro vou simplificar a expressão de \theta substituindo \theta_{0} e T pelos valores dados, para ficar mais fácil de derivar e avaliar em t=0.
Substituindo \theta_{0}=8 e T=2 em
\theta=\theta_{0}\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi t}{T}\right)-0,5\,\theta_{0}\operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi t}{T}\right),
obtemos
\theta=8\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi t}{2}\right)-0,5\cdot 8\operatorname{sen}\!(\pi t).
Como 0,5\cdot 8=4, fica
\theta=8\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi t}{2}\right)-4\operatorname{sen}\!(\pi t).

Passo 3

Agora calculo a coordenada angular no instante t=0. Basta substituir t=0 na expressão simplificada:
\theta(0)=8\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi\cdot 0}{2}\right)-4\operatorname{sen}\!(\pi\cdot 0).
Como \operatorname{sen}(0)=0, temos
\theta(0)=8\cdot 0 - 4\cdot 0 = 0.
Portanto, a coordenada angular em t=0 é 0\\ \mathrm{rad}.

Passo 4

Agora vou obter a velocidade angular \omega(t). A velocidade angular é a derivada temporal do deslocamento angular:
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}.
Para derivar \theta(t) usei a regra: a derivada de \operatorname{sen}(u(t)) é \cos(u(t))\cdot u'(t) (isso é a regra da cadeia). Vou aplicar isso termo a termo.
Partindo da forma geral (antes de substituir números) é conveniente derivar a expressão original simbolicamente:
\theta=\theta_{0}\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi t}{T}\right)-0,5\,\theta_{0}\operatorname{sen}\!\left(\frac{2\pi t}{T}\right).
Derivando:
\omega(t)=\theta_{0}\cos\!\left(\frac{\pi t}{T}\right)\cdot\frac{\pi}{T}-0,5\,\theta_{0}\cos\!\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\cdot\frac{2\pi}{T}.
Observe que no segundo termo o fator 0,5 cancela parcialmente com o 2, porque 0,5\cdot 2=1. Assim podemos simplificar a expressão:
\omega(t)=\theta_{0}\frac{\pi}{T}\left[\cos\!\left(\frac{\pi t}{T}\right)-\cos\!\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right].

Passo 5

Substituo agora \theta_{0}=8 e T=2 na expressão de \omega(t). Como \frac{\pi}{T}=\frac{\pi}{2}, obtemos
\omega(t)=8\cdot\frac{\pi}{2}\left[\cos\!\left(\frac{\pi t}{2}\right)-\cos\!\left(\pi t\right)\right].
Simplificando 8\cdot\frac{\pi}{2}=4\pi, fica
\omega(t)=4\pi\left[\cos\!\left(\frac{\pi t}{2}\right)-\cos\!\left(\pi t\right)\right].

Passo 6

Avalio \omega em t=0:
\omega(0)=4\pi\left[\cos\!\left(\frac{\pi\cdot 0}{2}\right)-\cos\!(\pi\cdot 0)\right]=4\pi[\cos(0)-\cos(0)].
Como \cos(0)=1, temos \omega(0)=4\pi(1-1)=0.
Portanto, a velocidade angular em t=0 é 0\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 7

Agora calculo a aceleração angular \alpha(t). A aceleração angular é a derivada da velocidade angular, ou a segunda derivada do deslocamento:
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}.
Posso derivar a expressão de \omega(t) que obtivemos:
\omega(t)=\theta_{0}\frac{\pi}{T}\left[\cos\!\left(\frac{\pi t}{T}\right)-\cos\!\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right].
Aplicando a derivada (derivada de \cos(u(t)) é -\sin(u(t))\cdot u'(t)):
\alpha(t)=\theta_{0}\frac{\pi}{T}\left[-\sin\!\left(\frac{\pi t}{T}\right)\cdot\frac{\pi}{T} + \sin\!\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\cdot\frac{2\pi}{T}\right].
Fatorando \left(\frac{\pi}{T}\right)^{2} obtemos a forma simplificada:
\alpha(t)=\theta_{0}\left(\frac{\pi}{T}\right)^{2}\left[-\sin\!\left(\frac{\pi t}{T}\right)+2\sin\!\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\right].

Passo 8

Substituo \theta_{0}=8 e T=2. Primeiro calcule \left(\frac{\pi}{T}\right)^{2}=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}=\frac{\pi^{2}}{4}. Então
\alpha(t)=8\cdot\frac{\pi^{2}}{4}\left[-\sin\!\left(\frac{\pi t}{2}\right)+2\sin\!(\pi t)\right].
Como 8\cdot\frac{1}{4}=2, fica
\alpha(t)=2\pi^{2}\left[-\sin\!\left(\frac{\pi t}{2}\right)+2\sin\!(\pi t)\right].

Passo 9

Agora avalio \alpha em t=0:
\alpha(0)=2\pi^{2}\left[-\sin\!\left(\frac{\pi\cdot 0}{2}\right)+2\sin\!(\pi\cdot 0)\right]=2\pi^{2}[-\sin(0)+2\sin(0)].
Como \sin(0)=0, temos \alpha(0)=2\pi^{2}[0]=0.
Portanto, a aceleração angular em t=0 é 0\\ \mathrm{rad/s^{2}}.

Resposta

\theta(0)=0\\ \mathrm{rad}
\omega(0)=0\\ \mathrm{rad/s}
\alpha(0)=0\\ \mathrm{rad/s^{2}}

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