O movimento de um volante oscilante é definido pela relação:
sendo
expresso em radianos e t em segundos. Sabendo que
, a coordenada, a velocidade e a aceleração angulares do volante quando
a)
.
a)
Passo 1
O enunciado dá a expressão do deslocamento angular do volante:
e pede: a coordenada angular, a velocidade angular e a aceleração angular do volante quando
.
As informações numéricas fornecidas no enunciado são:
Passo 2
Primeiro vou simplificar a expressão de
substituindo
e
pelos valores dados, para ficar mais fácil de derivar e avaliar em
.
Substituindo
e
em
obtemos
Como
, fica
Passo 3
Agora calculo a coordenada angular no instante
. Basta substituir
na expressão simplificada:
Como
, temos
Portanto, a coordenada angular em
é
.
Passo 4
Agora vou obter a velocidade angular
. A velocidade angular é a derivada temporal do deslocamento angular:
Para derivar
usei a regra: a derivada de
é
(isso é a regra da cadeia). Vou aplicar isso termo a termo.
Partindo da forma geral (antes de substituir números) é conveniente derivar a expressão original simbolicamente:
Derivando:
Observe que no segundo termo o fator
cancela parcialmente com o
, porque
. Assim podemos simplificar a expressão:
Passo 5
Substituo agora
e
na expressão de
. Como
, obtemos
Simplificando
, fica
Passo 6
Avalio
em
:
Como
, temos
.
Portanto, a velocidade angular em é
.
Portanto, a velocidade angular em
Passo 7
Agora calculo a aceleração angular
. A aceleração angular é a derivada da velocidade angular, ou a segunda derivada do deslocamento:
Posso derivar a expressão de
que obtivemos:
Aplicando a derivada (derivada de
é
):
Fatorando
obtemos a forma simplificada:
Passo 8
Substituo
e
. Primeiro calcule
. Então
Como
, fica
Passo 9
Agora avalio
em
:
Como
, temos
.
Portanto, a aceleração angular em é
.
Portanto, a aceleração angular em