O movimento de um corpo em MHS é descrito pela equação: x(t)=6 cdot 10^-3 m cdot cos (pi6 cdot rads t+pi6 rad)
Qual é a função aceleração a(t) do movimento do objeto?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente está lidando com o Movimento Harmônico Simples (MHS). O enunciado nos dá a posição de um corpo em função do tempo:
x(t) = 6 times 10^-3 , m cdot cos( pi6 cdot rads cdot t + pi6 , rad )
Nosso objetivo é encontrar a função aceleração $ a(t) $ desse movimento. Para isso, vamos precisar entender como a aceleração está relacionada à posição no MHS e usar derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no Movimento Harmônico Simples, a aceleração $ a(t) $ é a segunda derivada da posição $ x(t) $ em relação ao tempo. Ou seja:
a(t)
Isso significa que precisamos derivar a função $ x(t) $ duas vezes para chegar na aceleração.

Passo 3

Vamos identificar os componentes da função $ x(t) $:
x(t)
Onde:
  • $ A = 6 \times 10^{-3} , m $ é a amplitude do movimento,
  • $ \omega = \frac{\pi}{6} , rad/s $ é a frequência angular,
  • $ \phi = \frac{\pi}{6} , rad $ é a fase inicial.

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada de $ x(t) $ para encontrar a velocidade $ v(t) $:
x(t)
Aqui, usamos a regra da derivada do cosseno, que nos dá menos seno multiplicado pela frequência angular $ \omega $.

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a segunda derivada para encontrar a aceleração $ a(t) $:
a(t)
Mais uma vez, derivando o seno, obtemos o cosseno, e multiplicamos pelo fator $ -\omega $. No total, temos o negativo da frequência angular ao quadrado vezes o cosseno.

Passo 6

Podemos simplificar a expressão da aceleração relacionando-a diretamente com a posição $ x(t) $:
x(t)
Isso mostra que a aceleração no MHS é proporcional à posição, mas na direção oposta.

Resposta

A função aceleração do movimento é:
a(t) = -( pi6 )^2 cdot 6 times 10^-3 , m cdot cos( pi6 cdot t + pi6 )
Simplificando os cálculos:
a(t) = -pi^236 times 6 times 10^-3 , m cdot cos( pi6 cdot t + pi6 )
Ou ainda:
a(t) = -pi^26 times 10^-3 , m cdot cos( pi6 cdot t + pi6 )

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