O movimento de um corpo em MHS é descrito pela equação:
Qual é a função aceleração
do movimento do objeto?
Qual é a função aceleração
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente está lidando com o Movimento Harmônico Simples (MHS). O enunciado nos dá a posição de um corpo em função do tempo:
Nosso objetivo é encontrar a função aceleração $ a(t) $ desse movimento. Para isso, vamos precisar entender como a aceleração está relacionada à posição no MHS e usar derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no Movimento Harmônico Simples, a aceleração $ a(t) $ é a segunda derivada da posição $ x(t) $ em relação ao tempo. Ou seja:
Isso significa que precisamos derivar a função $ x(t) $ duas vezes para chegar na aceleração.
Passo 3
Vamos identificar os componentes da função $ x(t) $:
Onde:
- $ A = 6 \times 10^{-3} , m $ é a amplitude do movimento,
- $ \omega = \frac{\pi}{6} , rad/s $ é a frequência angular,
- $ \phi = \frac{\pi}{6} , rad $ é a fase inicial.
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada de $ x(t) $ para encontrar a velocidade $ v(t) $:
Aqui, usamos a regra da derivada do cosseno, que nos dá menos seno multiplicado pela frequência angular $ \omega $.
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a segunda derivada para encontrar a aceleração $ a(t) $:
Mais uma vez, derivando o seno, obtemos o cosseno, e multiplicamos pelo fator $ -\omega $. No total, temos o negativo da frequência angular ao quadrado vezes o cosseno.
Passo 6
Podemos simplificar a expressão da aceleração relacionando-a diretamente com a posição $ x(t) $:
Isso mostra que a aceleração no MHS é proporcional à posição, mas na direção oposta.
Resposta
A função aceleração do movimento é:
Simplificando os cálculos:
Ou ainda: