O movimento de um corpo sobre o eixo-x obedece a seguinte equação
unidades no S.I. Determinar:
a) A amplitude, a frequência angular e a fase inicial;
b) O período e a frequência do movimento;
c) A equação da velocidade;
d) A equação da aceleração;
a) A amplitude, a frequência angular e a fase inicial;
b) O período e a frequência do movimento;
c) A equação da velocidade;
d) A equação da aceleração;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Informação dada: a posição do corpo sobre o eixo
é
em unidades do S.I. (ou seja,
em metros e
em segundos).
- Perguntas:
(a) Determinar a amplitude, a frequência angular e a fase inicial;
(b) Determinar o período e a frequência do movimento;
(c) Encontrar a equação da velocidade;
(d) Encontrar a equação da aceleração.
Passo 2
Identificar a forma padrão do movimento harmônico simples (MHS) e as grandezas envolvidas.
- Forma padrão do MHS (função cosseno):
onde:
-
é a amplitude (valor máximo absoluto da posição, em metros); -
é a frequência angular (em rad/s); -
é a fase inicial (em rad); -
é o tempo (em s). -
Comparando a expressão dada com a forma padrão, vemos que:
- o coeficiente que multiplica o cosseno é
, logo a amplitude é (metros); - o argumento do cosseno é
, portanto (rad/s) e (rad).
- o coeficiente que multiplica o cosseno é
(Não resolvo nada além de identificar — só organizei os dados para começar a calcular.)
Passo 3
Resposta da letra (a): amplitude, frequência angular e fase inicial — com explicação do porquê.
- Amplitude:
é simplesmente o fator multiplicando o cosseno na forma padrão . Aqui . Ou seja,
- Frequência angular: é o coeficiente que multiplica
dentro do cosseno. Da expressão obtemos
Explicação curta: a frequência angular diz quantos radianos o argumento do cosseno percorre por segundo.
- Fase inicial: é o termo constante adicionado ao argumento; aqui
Explicação curta:
indica o deslocamento inicial da fase no instante
(se
, o cosseno começa invertido:
).
Passo 4
Calcular o período
e a frequência
(letra b), com as fórmulas e passos detalhados.
- Relação entre período e frequência angular:
Substituindo
:
Logo
- Frequência (ciclos por segundo):
Explicação:
é o tempo para uma oscilação completa;
é quantas oscilações ocorrem por segundo.
Passo 5
Derivar para obter a velocidade
(letra c). Vou mostrar a regra que uso e cada etapa.
- Regra de derivação usada: derivada de
é (regra da cadeia). Aqui e . - Aplicando a regra à função dada:
Derivando:
Multiplicando os fatores:
- Simplificação trigonométrica (opcional, mas útil na prova): usar
. Assim
Portanto uma forma mais simples e conveniente é
- Observação física: em MHS a fórmula geral é
que coincide com o primeiro resultado antes da simplificação trigonométrica.
Passo 6
Derivar para obter a aceleração
(letra d). Mostro a regra e verificações.
- Regra: derivada de
é . - Parto da forma não simplificada de
ou uso diretamente a fórmula geral para aceleração em MHS:
Fórmula geral:Substituindo e : - Simplificando usando
:
-
Checagem alternativa (derivando a forma simplificada de
):
Se, então que confere com a forma simplificada acima. -
Observação elegante: em todo MHS vale
. Aplicando aqui ( e ) recupera-se a forma não simplificada , que é equivalente à expressão simplificada.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)