O movimento de um corpo sobre o eixo-x obedece a seguinte equação
x=4 \cos \left(\frac{1}{2} \pi t+\pi\right)
unidades no S.I. Determinar:
a) A amplitude, a frequência angular e a fase inicial;
b) O período e a frequência do movimento;
c) A equação da velocidade;
d) A equação da aceleração;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Informação dada: a posição do corpo sobre o eixo x é
x=4\cos\!\left(\tfrac{1}{2}\pi t+\pi\right),
em unidades do S.I. (ou seja, x em metros e t em segundos).
  • Perguntas:
    (a) Determinar a amplitude, a frequência angular e a fase inicial;
    (b) Determinar o período e a frequência do movimento;
    (c) Encontrar a equação da velocidade v(t);
    (d) Encontrar a equação da aceleração a(t).

Passo 2

Identificar a forma padrão do movimento harmônico simples (MHS) e as grandezas envolvidas.
  • Forma padrão do MHS (função cosseno):
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • A é a amplitude (valor máximo absoluto da posição, em metros);
  • \omega é a frequência angular (em rad/s);
  • \varphi é a fase inicial (em rad);
  • t é o tempo (em s).
  • Comparando a expressão dada com a forma padrão, vemos que:
    • o coeficiente que multiplica o cosseno é 4, logo a amplitude é A=4 (metros);
    • o argumento do cosseno é \tfrac{1}{2}\pi t+\pi, portanto \omega=\tfrac{1}{2}\pi (rad/s) e \varphi=\pi (rad).
(Não resolvo nada além de identificar — só organizei os dados para começar a calcular.)

Passo 3

Resposta da letra (a): amplitude, frequência angular e fase inicial — com explicação do porquê.
  • Amplitude: A é simplesmente o fator multiplicando o cosseno na forma padrão x(t)=A\cos(\omega t+\varphi). Aqui A=4. Ou seja,
A=4\\ \text{m}.
  • Frequência angular: é o coeficiente que multiplica t dentro do cosseno. Da expressão \tfrac{1}{2}\pi t+\pi obtemos
\omega=\tfrac{1}{2}\pi\\ \text{rad/s}.
Explicação curta: a frequência angular diz quantos radianos o argumento do cosseno percorre por segundo.
  • Fase inicial: é o termo constante adicionado ao argumento; aqui
\varphi=\pi\\ \text{rad}.
Explicação curta: \varphi indica o deslocamento inicial da fase no instante t=0 (se \varphi=\pi, o cosseno começa invertido: \cos(\pi)=-1).

Passo 4

Calcular o período T e a frequência f (letra b), com as fórmulas e passos detalhados.
  • Relação entre período e frequência angular:
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Substituindo \omega=\tfrac{1}{2}\pi:
T=\frac{2\pi}{\tfrac{1}{2}\pi}=2\pi\cdot\frac{2}{\pi}=4.
Logo
T=4\\ \text{s}.
  • Frequência (ciclos por segundo):
f=\frac{1}{T}=\frac{1}{4}=0,25\\ \text{Hz}.
Explicação: T é o tempo para uma oscilação completa; f é quantas oscilações ocorrem por segundo.

Passo 5

Derivar para obter a velocidade v(t)=\dfrac{dx}{dt} (letra c). Vou mostrar a regra que uso e cada etapa.
  • Regra de derivação usada: derivada de \cos(u(t)) é -\sin(u(t))\cdot u'(t) (regra da cadeia). Aqui u(t)=\omega t+\varphi e u'(t)=\omega.
  • Aplicando a regra à função dada:
x(t)=4\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}t+\pi\right).
Derivando:
v(t)=\frac{dx}{dt}=-4\cdot\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}t+\pi\right)\cdot\left(\tfrac{\pi}{2}\right).
Multiplicando os fatores:
v(t)=-2\pi\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}t+\pi\right)\\ \text{m/s}.
  • Simplificação trigonométrica (opcional, mas útil na prova): usar \sin(\theta+\pi)=-\sin\theta. Assim
v(t)=-2\pi\big(-\sin(\tfrac{\pi}{2}t)\big)=2\pi\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}t\right).
Portanto uma forma mais simples e conveniente é
v(t)=2\pi\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)\\ \text{m/s}.
  • Observação física: em MHS a fórmula geral é
v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi),
que coincide com o primeiro resultado antes da simplificação trigonométrica.

Passo 6

Derivar para obter a aceleração a(t)=\dfrac{dv}{dt} (letra d). Mostro a regra e verificações.
  • Regra: derivada de \sin(u(t)) é \cos(u(t))\cdot u'(t).
  • Parto da forma não simplificada de v(t) ou uso diretamente a fórmula geral para aceleração em MHS:
    Fórmula geral: a(t)=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi).Substituindo A=4 e \omega=\tfrac{\pi}{2}: a(t)=-4\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^2\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}t+\pi\right)=-\pi^2\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}t+\pi\right)\\ \text{m/s}^2.
  • Simplificando usando \cos(\theta+\pi)=-\cos\theta:
a(t)=-\pi^2\big(-\cos(\tfrac{\pi}{2}t)\big)=\pi^2\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)\\ \text{m/s}^2.
  • Checagem alternativa (derivando a forma simplificada de v):
    Se v(t)=2\pi\sin(\tfrac{\pi}{2}t), então
    a(t)=2\pi\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)\cdot\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\pi^2\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}t\right),
    que confere com a forma simplificada acima.
  • Observação elegante: em todo MHS vale a(t)=-\omega^2 x(t). Aplicando aqui ( \omega=\tfrac{\pi}{2} e x(t)=4\cos(\tfrac{\pi}{2}t+\pi)) recupera-se a forma não simplificada -\pi^2\cos(\tfrac{\pi}{2}t+\pi), que é equivalente à expressão simplificada.

Resposta

(a) A=4\\ \text{m},\quad \omega=\tfrac{\pi}{2}\\ \text{rad/s},\quad \varphi=\pi\\ \text{rad}.
(b) T=4\\ \text{s},\quad f=\dfrac{1}{4}=0,25\\ \text{Hz}.
(c) v(t)=-2\pi\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}t+\pi\right)=2\pi\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)\\ \text{m/s}.
(d) a(t)=-\pi^2\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}t+\pi\right)=\pi^2\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}t\right)\\ \text{m/s}^2.

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