Cinco relógios estão sendo testados em um laboratório. Exatamente ao meiodia, de acordo com o Observatório Nacional, em dias sucessivos da semana, as leituras dos relógios foram anotadas na tabela a seguir. Coloque os relógios em ordem de confiabilidade, começando pelo melhor. Justifique sua escolha.
Relógio
Dom
Seg
Ter
Qua
Qui
Sáb
A
12:36:40
12:36:56
12:37:12
12:37:27
12:37:44
12:37:59
B
11:59:59
12:00:02
11:59:57
12:00:07
12:00:02
11:59:56
C
15:50:45
15:51:43
15:52:41
15:53:39
15:54:37
15:55:35
D
12:03:59
12:02:52
12:01:45
12:00:38
11:59:34
11:58:24
E
12:03:59
12:02:49
12:01:54
12:01:52
12:01:32
12:01:12
Passo 1
O enunciado dá as leituras, tomadas exatamente às 12:00:00 (hora do Observatório Nacional), de cinco relógios em seis dias sucessivos. A tabela contém, para cada relógio, as horas mostradas no instante em que o Observatório marcava 12:00:00. Os dados relevantes que vou usar (copiados do enunciado) são:
O que o exercício pede: “Coloque os relógios em ordem de confiabilidade, começando pelo melhor. Justifique a escolha.”
Portanto preciso medir, a partir desses registros, quais relógios são mais confiáveis — isto é, quais ficam mais próximos de 12{:}00{:}00 e/ou têm comportamento mais estável e previsível ao longo dos dias.
Passo 2
Como transformar as leituras em erros numéricos e quais medidas vou usar.
Definição de erro em segundos: para cada leitura h{:}m{:}s calculo o erro
e = (h-12)\cdot 3600 + m\cdot 60 + s,
ou seja, número de segundos que o relógio está adiantado (se e>0) ou atrasado (se e<0) em relação a 12{:}00{:}00.
Medidas que usarei para julgar confiabilidade:\text{MAE}=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6}|e_i|(erro médio absoluto — indica proximidade típica ao tempo correto);\sigma=\sqrt{\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6}(e_i-\bar e)^2}(desvio padrão dos erros — indica estabilidade / dispersão);\text{slope}=\frac{e_6-e_1}{5}(taxa média de mudança por dia em segundos por dia — indica deriva / se o relógio está ganhando/perdendo um montante constante por dia).
Vou converter cada leitura para segundos usando a fórmula acima e então calcular \text{MAE}, \sigma e \text{slope} para cada relógio. Isso permite comparar proximidade, estabilidade e deriva.
Passo 3
Cálculo dos erros (em segundos) para cada relógio nos seis dias. Para economizar espaço eu mostro a conversão detalhada para a primeira leitura de cada relógio e depois o vetor de erros completos.
Observação rápida (útil para intuição): e^{(B)} está dentro de poucos segundos de zero; e^{(D)} e e^{(E)} estão a poucos minutos (centenas de segundos) e mudam ao longo da semana; e^{(A)} está consistentemente adiantado em cerca de 2200\\ \mathrm{s} (≈ 36 minutos) e muda pouco por dia; e^{\text{(C)}} está várias horas adiantado (muito grande).
Passo 4
Cálculo das métricas (MAE, \sigma, slope) para cada relógio. Mostro as fórmulas e depois os valores numéricos arredondados sensivelmente.
\text{MAE} mede o erro típico absoluto (quanto, em média, o relógio erra).
\sigma mede a dispersão dos erros: menor \sigma significa comportamento mais estável (menos variação de dia para dia).
\text{slope} mede a deriva média por dia: grande valor absoluto indica que o relógio está ganhando/perdendo muitos segundos por dia (isso o torna pouco confiável sem ajuste diário).
Passo 5
Comparação e decisão final (explicando trade-offs).
Relógio B: tem de longe a menor MAE (\approx3{,}2\\ \mathrm{s}) e também o menor \sigma (\approx3{,}7\\ \mathrm{s}) e praticamente nenhum slope (-0{,}6\\ \mathrm{s/dia}). Ou seja, ele fica quase sempre correto, muito estável e sem deriva apreciável. Isso faz de B o mais confiável.
Relógios D e E: ambos estão a algumas centenas de segundos do horário correto, mas apresentam comportamentos diferentes.
D tem MAE um pouco menor (112{,}7\\ \mathrm{s}) que E (133{,}0\\ \mathrm{s}), portanto, em termos de erro médio absoluto D parece melhor. Contudo, D tem desvio padrão grande (\sigma_D\approx114\\ \mathrm{s}) e uma deriva forte e negativa (-67\\ \mathrm{s/dia}), ou seja, perde cerca de 1 minuto e 7 segundos por dia de forma consistente — comportamento que o torna imprevisível se não for reajustado frequentemente.
E tem MAE um pouco maior, mas \sigma_E\approx56\\ \mathrm{s} (bem menor que \sigma_D) e uma deriva menor em magnitude (-33{,}4\\ \mathrm{s/dia}). Ou seja, E é mais estável (menos variação diária) e tem deriva menor que D, embora esteja sistematicamente adiantado em cerca de 2 minutos.
Por isso, entre D e E eu considero E mais confiável na prática: é mais previsível e menos sujeito a grandes variações diárias, enquanto D muda muito rápido.
Relógio A: tem erro médio muito grande (\approx2239{,}7\\ \mathrm{s}, cerca de 37 minutos), mas tem pequena dispersão (\sigma_A\approx25{,}5\\ \mathrm{s}) e deriva pequena (\approx15{,}8\\ \mathrm{s/dia}). Ou seja, é muito estável e previsível, só que sistematicamente muito adiantado. Se o critério fosse “facilidade de correção” (um ajuste único), A seria fácil de consertar; mas como o enunciado pede “confiabilidade” em sentido prático (ficar próximo do tempo verdadeiro sem ajustes), um relógio adiantado em 37 minutos é bastante ruim. Portanto coloco A depois de D e E.
Relógio C: erro enorme (\approx13990\\ \mathrm{s}, quase 4 horas) e apesar de ter deriva constante (58\\ \mathrm{s/dia}) isso não o salva — está completamente fora do horário. É o menos confiável.
Conclusão prática (trade-offs considerados: erro típico, estabilidade e deriva): o melhor é B; na sequência, por ser mais estável e ter menor deriva que D, vem E; depois D (embora sua MAE seja um pouco menor que a de E, sua grande deriva e \sigma o tornam menos confiável); depois A (estável e previsível, mas com enorme offset); por fim C.