Cinco relógios estão sendo testados em um laboratório. Exatamente ao meiodia, de acordo com o Observatório Nacional, em dias sucessivos da semana, as leituras dos relógios foram anotadas na tabela a seguir. Coloque os relógios em ordem de confiabilidade, começando pelo melhor. Justifique sua escolha.
Relógio Dom Seg Ter Qua Qui Sáb
A 12:36:40 12:36:56 12:37:12 12:37:27 12:37:44 12:37:59
B 11:59:59 12:00:02 11:59:57 12:00:07 12:00:02 11:59:56
C 15:50:45 15:51:43 15:52:41 15:53:39 15:54:37 15:55:35
D 12:03:59 12:02:52 12:01:45 12:00:38 11:59:34 11:58:24
E 12:03:59 12:02:49 12:01:54 12:01:52 12:01:32 12:01:12

Passo 1

O enunciado dá as leituras, tomadas exatamente às 12:00:00 (hora do Observatório Nacional), de cinco relógios em seis dias sucessivos. A tabela contém, para cada relógio, as horas mostradas no instante em que o Observatório marcava 12:00:00. Os dados relevantes que vou usar (copiados do enunciado) são:
  • Relógio A: 12{:}36{:}40,\;12{:}36{:}56,\;12{:}37{:}12,\;12{:}37{:}27,\;12{:}37{:}44,\;12{:}37{:}59.
  • Relógio B: 11{:}59{:}59,\;12{:}00{:}02,\;11{:}59{:}57,\;12{:}00{:}07,\;12{:}00{:}02,\;11{:}59{:}56.
  • Relógio C: 15{:}50{:}45,\;15{:}51{:}43,\;15{:}52{:}41,\;15{:}53{:}39,\;15{:}54{:}37,\;15{:}55{:}35.
  • Relógio D: 12{:}03{:}59,\;12{:}02{:}52,\;12{:}01{:}45,\;12{:}00{:}38,\;11{:}59{:}34,\;11{:}58{:}24.
  • Relógio E: 12{:}03{:}59,\;12{:}02{:}49,\;12{:}01{:}54,\;12{:}01{:}52,\;12{:}01{:}32,\;12{:}01{:}12.
O que o exercício pede: “Coloque os relógios em ordem de confiabilidade, começando pelo melhor. Justifique a escolha.”
Portanto preciso medir, a partir desses registros, quais relógios são mais confiáveis — isto é, quais ficam mais próximos de 12{:}00{:}00 e/ou têm comportamento mais estável e previsível ao longo dos dias.

Passo 2

Como transformar as leituras em erros numéricos e quais medidas vou usar.
  • Definição de erro em segundos: para cada leitura h{:}m{:}s calculo o erro
e = (h-12)\cdot 3600 + m\cdot 60 + s,
ou seja, número de segundos que o relógio está adiantado (se e>0) ou atrasado (se e<0) em relação a 12{:}00{:}00.
  • Medidas que usarei para julgar confiabilidade: \text{MAE}=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6}|e_i|(erro médio absoluto — indica proximidade típica ao tempo correto); \sigma=\sqrt{\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6}(e_i-\bar e)^2}(desvio padrão dos erros — indica estabilidade / dispersão); \text{slope}=\frac{e_6-e_1}{5}(taxa média de mudança por dia em segundos por dia — indica deriva / se o relógio está ganhando/perdendo um montante constante por dia).
Vou converter cada leitura para segundos usando a fórmula acima e então calcular \text{MAE}, \sigma e \text{slope} para cada relógio. Isso permite comparar proximidade, estabilidade e deriva.

Passo 3

Cálculo dos erros (em segundos) para cada relógio nos seis dias. Para economizar espaço eu mostro a conversão detalhada para a primeira leitura de cada relógio e depois o vetor de erros completos.
Relógio A. Primeira leitura 12{:}36{:}40:
e_1=(12-12)\cdot3600+36\cdot60+40=0+2160+40=2200\\ \mathrm{s}.
Os seis erros (domingo → sábado) são
e^{(A)} = \bigl(2200,\;2216,\;2232,\;2247,\;2264,\;2279\bigr)\\ \mathrm{s}.
Relógio B. Primeira leitura 11{:}59{:}59:
e_1=(11-12)\cdot3600+59\cdot60+59=-3600+3540+59=-1\\ \mathrm{s}.
Os seis erros são
e^{(B)} = \bigl(-1,\;2,\;-3,\;7,\;2,\;-4\bigr)\\ \mathrm{s}.
Relógio C. Primeira leitura 15{:}50{:}45:
e_1=(15-12)\cdot3600+50\cdot60+45=3\cdot3600+3000+45=10800+3045=13845\\ \mathrm{s}.
Os seis erros são
e^{\text{(C)}} = \bigl(13845,\;13903,\;13961,\;14019,\;14077,\;14135\bigr)\\ \mathrm{s}.
Relógio D. Primeira leitura 12{:}03{:}59:
e_1=(12-12)\cdot3600+3\cdot60+59=0+180+59=239\\ \mathrm{s}.
Os seis erros são
e^{(D)} = \bigl(239,\;172,\;105,\;38,\;-26,\;-96\bigr)\\ \mathrm{s}.
Relógio E. Primeira leitura 12{:}03{:}59 (mesmo valor inicial que D):
e_1=239\\ \mathrm{s}.
Os seis erros são
e^{(E)} = \bigl(239,\;169,\;114,\;112,\;92,\;72\bigr)\\ \mathrm{s}.
Observação rápida (útil para intuição): e^{(B)} está dentro de poucos segundos de zero; e^{(D)} e e^{(E)} estão a poucos minutos (centenas de segundos) e mudam ao longo da semana; e^{(A)} está consistentemente adiantado em cerca de 2200\\ \mathrm{s} (≈ 36 minutos) e muda pouco por dia; e^{\text{(C)}} está várias horas adiantado (muito grande).

Passo 4

Cálculo das métricas (MAE, \sigma, slope) para cada relógio. Mostro as fórmulas e depois os valores numéricos arredondados sensivelmente.
Fórmulas (já dadas, reapresentadas):
\text{MAE}=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6}|e_i|,\qquad \bar e=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6}e_i,\qquad \sigma=\sqrt{\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6}(e_i-\bar e)^2},
\text{slope}=\frac{e_6-e_1}{5}.
Agora os resultados (arredondados):
  • Relógio A: \text{MAE}_A=\frac{2200+2216+2232+2247+2264+2279}{6}=2239,67\\ \mathrm{s}\\ (\approx37\\ \text{min}\\\ 19{,}7\\ \text{s}),
\sigma_A\approx 25{,}45\\ \mathrm{s},\qquad \text{slope}_A=\frac{2279-2200}{5}=15{,}8\\ \mathrm{s/dia}.
  • Relógio B: \text{MAE}_B=\frac{1+2+3+7+2+4}{6}=3{,}17\\ \mathrm{s},
\sigma_B\approx 3{,}68\\ \mathrm{s},\qquad \text{slope}_B=\frac{-4-(-1)}{5}=-0{,}6\\ \mathrm{s/dia}.
  • Relógio C: \text{MAE}_C=\frac{13845+13903+13961+14019+14077+14135}{6}=13990{,}0\\ \mathrm{s}\\ (\approx3\\ \text{h}\\\ 53\\ \text{min}\\\ 10\\ \text{s}),
\sigma_C\approx 99{,}06\\ \mathrm{s},\qquad \text{slope}_C=\frac{14135-13845}{5}=58{,}0\\ \mathrm{s/dia}.
  • Relógio D:
    \text{MAE}_D=\frac{239+172+105+38+26+96}{6}=112{,}67\\ \mathrm{s}\\ (\approx1\\ \text{min}\\\ 52{,}7\\ \text{s}),
    (note que usei valores absolutos para a MAE)
    \sigma_D\approx 114{,}0\\ \mathrm{s},\qquad \text{slope}_D=\frac{-96-239}{5}=-67{,}0\\ \mathrm{s/dia}.
  • Relógio E:
    \text{MAE}_E=\frac{239+169+114+112+92+72}{6}=133{,}00\\ \mathrm{s}\\ (\approx2\\ \text{min}\\\ 13\\ \text{s}),
\sigma_E\approx 55{,}9\\ \mathrm{s},\qquad \text{slope}_E=\frac{72-239}{5}=-33{,}4\\ \mathrm{s/dia}.
Interpretação dos números:
  • \text{MAE} mede o erro típico absoluto (quanto, em média, o relógio erra).
  • \sigma mede a dispersão dos erros: menor \sigma significa comportamento mais estável (menos variação de dia para dia).
  • \text{slope} mede a deriva média por dia: grande valor absoluto indica que o relógio está ganhando/perdendo muitos segundos por dia (isso o torna pouco confiável sem ajuste diário).

Passo 5

Comparação e decisão final (explicando trade-offs).
  • Relógio B: tem de longe a menor MAE ( \approx3{,}2\\ \mathrm{s}) e também o menor \sigma ( \approx3{,}7\\ \mathrm{s}) e praticamente nenhum slope ( -0{,}6\\ \mathrm{s/dia}). Ou seja, ele fica quase sempre correto, muito estável e sem deriva apreciável. Isso faz de B o mais confiável.
  • Relógios D e E: ambos estão a algumas centenas de segundos do horário correto, mas apresentam comportamentos diferentes.
    • D tem MAE um pouco menor ( 112{,}7\\ \mathrm{s}) que E ( 133{,}0\\ \mathrm{s}), portanto, em termos de erro médio absoluto D parece melhor. Contudo, D tem desvio padrão grande ( \sigma_D\approx114\\ \mathrm{s}) e uma deriva forte e negativa ( -67\\ \mathrm{s/dia}), ou seja, perde cerca de 1 minuto e 7 segundos por dia de forma consistente — comportamento que o torna imprevisível se não for reajustado frequentemente.
    • E tem MAE um pouco maior, mas \sigma_E\approx56\\ \mathrm{s} (bem menor que \sigma_D) e uma deriva menor em magnitude ( -33{,}4\\ \mathrm{s/dia}). Ou seja, E é mais estável (menos variação diária) e tem deriva menor que D, embora esteja sistematicamente adiantado em cerca de 2 minutos.
      Por isso, entre D e E eu considero E mais confiável na prática: é mais previsível e menos sujeito a grandes variações diárias, enquanto D muda muito rápido.
  • Relógio A: tem erro médio muito grande ( \approx2239{,}7\\ \mathrm{s}, cerca de 37 minutos), mas tem pequena dispersão ( \sigma_A\approx25{,}5\\ \mathrm{s}) e deriva pequena ( \approx15{,}8\\ \mathrm{s/dia}). Ou seja, é muito estável e previsível, só que sistematicamente muito adiantado. Se o critério fosse “facilidade de correção” (um ajuste único), A seria fácil de consertar; mas como o enunciado pede “confiabilidade” em sentido prático (ficar próximo do tempo verdadeiro sem ajustes), um relógio adiantado em 37 minutos é bastante ruim. Portanto coloco A depois de D e E.
  • Relógio C: erro enorme ( \approx13990\\ \mathrm{s}, quase 4 horas) e apesar de ter deriva constante ( 58\\ \mathrm{s/dia}) isso não o salva — está completamente fora do horário. É o menos confiável.
Conclusão prática (trade-offs considerados: erro típico, estabilidade e deriva): o melhor é B; na sequência, por ser mais estável e ter menor deriva que D, vem E; depois D (embora sua MAE seja um pouco menor que a de E, sua grande deriva e \sigma o tornam menos confiável); depois A (estável e previsível, mas com enorme offset); por fim C.

Resposta

B
E
D
A
C

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