Para a barra do Exercício 23, determinar a expressão matemática que define o campo de deslocamento axial em cada segmento, considerando E=29 \cdot 10^{6}, 1 \mathrm{kip}=1000 \mathrm{lb}, L_{1}= 8 \mathrm{in} ., L_{2}=12 \mathrm{in} . \mathrm{e} L_{3}=10 \mathrm{in}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a expressão matemática que define o campo de deslocamento axial em cada segmento da barra do Exercício 23. As informações que o enunciado forneceu explicitamente são:
  • Módulo de Young: E=29\cdot10^{6}.
  • Conversão: 1\\ \mathrm{kip}=1000\\ \mathrm{lb}.
  • Comprimentos dos segmentos: L_{1}=8\\ \mathrm{in.}, L_{2}=12\\ \mathrm{in.} e L_{3}=10\\ \mathrm{in.}.
Não foram fornecidos no enunciado enviado: a geometria completa (diâmetros/áreas das seções transversais dos segmentos), a figura com a barra e os carregamentos (forças concentradas, carregamento distribuído, localização de apoios), e as condições de contorno (deslocamentos prescritos ou forças nas extremidades). Esses dados não estão presentes no texto recebido.

Passo 2

Por que a figura/dados faltantes são essenciais (explicação clara e prática):
  • Para determinar o campo de deslocamento axial u(x) é preciso saber como a barra está carregada axialmente (forças concentradas, cargas distribuídas p(x)) e quais seções têm que ser consideradas com suas áreas A_i.
  • Também é preciso saber as condições de contorno nas extremidades (por exemplo, deslocamento nulo em um apoio ou força aplicada), porque elas fixam as constantes de integração da solução.
  • Sem a distribuição de p(x), das forças concentradas e sem as áreas A_i, não há informação suficiente para obter expressões numéricas ou completamente determinadas para u(x) em cada segmento.
Portanto, com os dados que eu já tenho (somente E e os comprimentos), não é possível calcular as expressões finais numéricas para u(x) em cada segmento.

Passo 3

A teoria e as fórmulas que se usa para obter o campo de deslocamento axial (aula prática, passo a passo):
  • Escolhe-se um eixo longitudinal x ao longo da barra; em cada segmento define-se o deslocamento axial como função de x: u(x).
  • Definição de deformação axial: \varepsilon(x)=u'(x) (derivada de u em relação a x).
  • Lei constitutiva (Lei de Hooke) para deformação linear elástica: \sigma(x)=E\,\varepsilon(x)=E\,u'(x).
  • Força interna axial (membrana) na seção: N(x)=A(x)\,\sigma(x)=E\,A(x)\,u'(x), onde A(x) é a área da seção transversal (pode ser constante em cada segmento: A_i).
  • Equilíbrio axial diferencial (força interna + carga distribuída): \bigl(N(x)\bigr)'+p(x)=0. Substituindo N(x): \bigl(E\,A(x)\,u'(x)\bigr)'+p(x)=0.
  • Se em um segmento E e A são constantes e a carga distribuída p(x) for conhecida, a equação reduz-se a: E A\,u''(x)+p(x)=0.
Comentando o que cada termo significa:
  • u(x): deslocamento axial (função desconhecida a determinar).
  • u'(x)=\dfrac{du}{dx}: deformação axial instantânea.
  • E: módulo de Young (rigidez do material).
  • A(x): área da seção (define a rigidez axial EA).
  • p(x): carga axial distribuída por unidade de comprimento (unidade de força por comprimento).
  • N(x): força axial interna (positiva num sentido escolhido).

Passo 4

Soluções gerais típicas para casos comuns (formas de resolver na prova):
  1. Caso sem carga distribuída no segmento ( p(x)=0) e com E e A constantes no segmento:
  • A equação fica E A\,u''(x)=0.
  • Integrando duas vezes: u(x)=C_1 + C_2\,x, onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições de contorno e continuidade.
  • Interpretação física: o campo de deslocamento é linear; u'(x)=C_2 é a deformação constante e a força axial no segmento é N=E A C_2.
  1. Caso com carga distribuída constante p(x)=q_0 (força por unidade de comprimento, positiva no sentido escolhido) e E,A constantes:
  • A equação fica E A\,u''(x)+q_0=0.
  • Integrando duas vezes: u(x)=C_1 + C_2\,x - \frac{q_0}{2 E A}\,x^2.
  • Aqui o termo quadrático aparece por causa da carga distribuída.
  1. Caso com força axial constante N_0 no segmento (resultado de equilíbrio quando não há p dentro do segmento): então u'(x)=\dfrac{N_0}{E A} e integrando: u(x)=C_1 + \frac{N_0}{E A}\,x.
Como achar as constantes C_i:
  • Em cada junção entre segmentos aplica-se continuidade do deslocamento: u_i(x_{\text{fim}})=u_{i+1}(x_{\text{início}})í.
  • Equilíbrio de forças na junção: diferença de N entre os lados igual às forças concentradas aplicadas na junção (se houver); se não houver força concentrada, N é contínua.
  • Condições de contorno nas extremidades: por exemplo, u=0 se a extremidade estiver engastada; ou N igual a uma força aplicada se houver carga concentrada na extremidade.
  • Para três segmentos, cada solução geral tem duas constantes; portanto haverá 2\cdot3=6 constantes no total. São necessárias 6 equações (condições) para determiná-las: 2 condições nas extremidades + 2 condições de continuidade (deslocamento) nas duas junções + 2 condições de equilíbrio (força) nas mesmas junções — ou o conjunto equivalente que o problema fornecer.

Passo 5

Exemplo de procedimento (modelo prático, sem números) para montar as expressões em cada segmento:
  • Adota-se um sistema de coordenadas. Por convenção, pode-se tomar x=0 na extremidade esquerda e então os segmentos cobrem:
    • segmento 1: 0\le x\le L_1,
    • segmento 2: L_1\le x\le L_1+L_2,
    • segmento 3: L_1+L_2\le x\le L_1+L_2+L_3.
  • Em cada segmento i escreve-se a solução geral apropriada (por exemplo, se p_i(x)=0 e A_i constante): u_i(x)=C_{i1}+C_{i2}\,x.
  • Escrevem-se as equações de continuidade e equilíbrio nas duas interfaces x=L_1 e x=L_1+L_2 e as condições nas extremidades. Resolve-se o sistema linear para obter todas as constantes C_{i j}.
  • Substitui-se cada constante nas expressões u_i(x) para obter o campo de deslocamento em forma explícita.

Passo 6

Com os comprimentos e E que você deu eu já sei a parte geométrica de posições dos nós, mas faltam dados essenciais para finalizar: áreas das seções A_1,A_2,A_3 (ou se a barra for de área uniforme), os carregamentos (forças concentradas e/ou p(x) em cada segmento), os tipos de apoio/condições de contorno e a orientação/signo das cargas. Sem esses elementos não dá para escrever as expressões numéricas finais de u(x) em cada segmento.
Se você quiser, posso:
  • (não estou pedindo que envie nada agora) — mas se a figura do Exercício 23 ou a informação sobre áreas, cargas e apoios for fornecida, eu monto passo a passo as equações, resolvo para as constantes e entrego as expressões explícitas de u(x) em cada segmento, explicando cada etapa bem mastigada. Força aí — já está quase!

Resposta

Não é possível determinar as expressões de deslocamento axial em cada segmento porque o enunciado depende da figura do Exercício 23 e de dados que não foram fornecidos (áreas das seções A_i, distribuição de carregamento p(x) ou forças concentradas, e condições de contorno nas extremidades); com apenas E e os comprimentos L_1,L_2,L_3 os campos u_i(x) permanecem indeterminados.

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