Para a barra do Exercício 23, determinar a expressão matemática que define o campo de deslocamento axial em cada segmento, considerando
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a expressão matemática que define o campo de deslocamento axial em cada segmento da barra do Exercício 23. As informações que o enunciado forneceu explicitamente são:
- Módulo de Young:
. - Conversão:
. - Comprimentos dos segmentos:
, e .
Não foram fornecidos no enunciado enviado: a geometria completa (diâmetros/áreas das seções transversais dos segmentos), a figura com a barra e os carregamentos (forças concentradas, carregamento distribuído, localização de apoios), e as condições de contorno (deslocamentos prescritos ou forças nas extremidades). Esses dados não estão presentes no texto recebido.
Passo 2
Por que a figura/dados faltantes são essenciais (explicação clara e prática):
- Para determinar o campo de deslocamento axial
é preciso saber como a barra está carregada axialmente (forças concentradas, cargas distribuídas ) e quais seções têm que ser consideradas com suas áreas . - Também é preciso saber as condições de contorno nas extremidades (por exemplo, deslocamento nulo em um apoio ou força aplicada), porque elas fixam as constantes de integração da solução.
- Sem a distribuição de
, das forças concentradas e sem as áreas , não há informação suficiente para obter expressões numéricas ou completamente determinadas para em cada segmento.
Portanto, com os dados que eu já tenho (somente
e os comprimentos), não é possível calcular as expressões finais numéricas para
em cada segmento.
Passo 3
A teoria e as fórmulas que se usa para obter o campo de deslocamento axial (aula prática, passo a passo):
- Escolhe-se um eixo longitudinal
ao longo da barra; em cada segmento define-se o deslocamento axial como função de : . - Definição de deformação axial:
(derivada de em relação a ). - Lei constitutiva (Lei de Hooke) para deformação linear elástica:
. - Força interna axial (membrana) na seção:
, onde é a área da seção transversal (pode ser constante em cada segmento: ). - Equilíbrio axial diferencial (força interna + carga distribuída):
Substituindo : - Se em um segmento
e são constantes e a carga distribuída for conhecida, a equação reduz-se a:
Comentando o que cada termo significa:
-
: deslocamento axial (função desconhecida a determinar). -
: deformação axial instantânea. -
: módulo de Young (rigidez do material). -
: área da seção (define a rigidez axial ). -
: carga axial distribuída por unidade de comprimento (unidade de força por comprimento). -
: força axial interna (positiva num sentido escolhido).
Passo 4
Soluções gerais típicas para casos comuns (formas de resolver na prova):
- Caso sem carga distribuída no segmento (
) e com e constantes no segmento:
- A equação fica
- Integrando duas vezes:
onde e são constantes a determinar pelas condições de contorno e continuidade. - Interpretação física: o campo de deslocamento é linear;
é a deformação constante e a força axial no segmento é .
- Caso com carga distribuída constante
(força por unidade de comprimento, positiva no sentido escolhido) e constantes:
- A equação fica
- Integrando duas vezes:
- Aqui o termo quadrático aparece por causa da carga distribuída.
- Caso com força axial constante
no segmento (resultado de equilíbrio quando não há dentro do segmento): então e integrando:
Como achar as constantes
:
- Em cada junção entre segmentos aplica-se continuidade do deslocamento:
. - Equilíbrio de forças na junção: diferença de
entre os lados igual às forças concentradas aplicadas na junção (se houver); se não houver força concentrada, é contínua. - Condições de contorno nas extremidades: por exemplo,
se a extremidade estiver engastada; ou igual a uma força aplicada se houver carga concentrada na extremidade. - Para três segmentos, cada solução geral tem duas constantes; portanto haverá
constantes no total. São necessárias 6 equações (condições) para determiná-las: 2 condições nas extremidades + 2 condições de continuidade (deslocamento) nas duas junções + 2 condições de equilíbrio (força) nas mesmas junções — ou o conjunto equivalente que o problema fornecer.
Passo 5
Exemplo de procedimento (modelo prático, sem números) para montar as expressões em cada segmento:
- Adota-se um sistema de coordenadas. Por convenção, pode-se tomar
na extremidade esquerda e então os segmentos cobrem: - segmento 1:
, - segmento 2:
, - segmento 3:
.
- segmento 1:
- Em cada segmento
escreve-se a solução geral apropriada (por exemplo, se e constante): - Escrevem-se as equações de continuidade e equilíbrio nas duas interfaces
e e as condições nas extremidades. Resolve-se o sistema linear para obter todas as constantes . - Substitui-se cada constante nas expressões
para obter o campo de deslocamento em forma explícita.
Passo 6
Com os comprimentos e
que você deu eu já sei a parte geométrica de posições dos nós, mas faltam dados essenciais para finalizar: áreas das seções
(ou se a barra for de área uniforme), os carregamentos (forças concentradas e/ou
em cada segmento), os tipos de apoio/condições de contorno e a orientação/signo das cargas. Sem esses elementos não dá para escrever as expressões numéricas finais de
em cada segmento.
Se você quiser, posso:
- (não estou pedindo que envie nada agora) — mas se a figura do Exercício 23 ou a informação sobre áreas, cargas e apoios for fornecida, eu monto passo a passo as equações, resolvo para as constantes e entrego as expressões explícitas de
em cada segmento, explicando cada etapa bem mastigada. Força aí — já está quase!
Resposta
Não é possível determinar as expressões de deslocamento axial em cada segmento porque o enunciado depende da figura do Exercício 23 e de dados que não foram fornecidos (áreas das seções
, distribuição de carregamento
ou forças concentradas, e condições de contorno nas extremidades); com apenas
e os comprimentos
os campos
permanecem indeterminados.