2 (Movimento em uma dimensão) Um balão de ar quente está subindo a uma taxa de
e está a 50 m acima do solo quando um tripulante deixa cair uma pedra.
(a) Quanto tempo a pedra leva para a tingir o solo?
(b) Qual a velocidade da pedra ao tingir o solo?
Use
.
(a) Quanto tempo a pedra leva para a tingir o solo?
(b) Qual a velocidade da pedra ao tingir o solo?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo a seguir foi tirado do enunciado):
- A pedra é solta de uma altura inicial
. - No instante da soltura, a velocidade inicial da pedra é igual à do balão:
(para cima). - A aceleração da gravidade é
.
O enunciado pede:
(a) o tempo que a pedra leva para atingir o solo;
(b) a velocidade da pedra no instante do impacto com o solo.
Passo 2
Escolher uma convenção de sinais e as equações de movimento (explicação didática).
- Vou tomar para cima como a direção positiva. Assim a aceleração devido à gravidade é
. - Para movimento com aceleração constante (aqui
), as fórmulas básicas são:
Nestas fórmulas:
-
é a altura em função do tempo; -
é a altura inicial; -
é a velocidade inicial; -
é a aceleração (aqui ); -
é a velocidade em função do tempo; -
é o tempo passado desde a soltura. - Para achar o tempo de impacto, impõe-se a condição de que a pedra atinge o solo:
.
Passo 3
Montar a equação para o tempo de queda substituindo
,
e
na equação de posição:
Simplificando o termo quadrático:
Reescrevendo na forma padrão
:
Passo 4
Resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para
,
,
, o discriminante é
Calculemos passo a passo:
portanto
A raiz quadrada de
é
As soluções da quadrática são
Temos duas raízes; a positiva (física) é
(A outra raiz é negativa e corresponde a um tempo anterior à soltura, portanto não física.)
Passo 5
Calcular a velocidade no instante do impacto usando
com
:
Calculemos:
então
O sinal negativo indica que a velocidade está dirigida para baixo (isto é, a pedra está se movendo para baixo no momento do impacto). Em módulo, a velocidade é aproximadamente
.
Passo 6
Resumo físico e interpretação:
- O tempo de queda encontrado
é o intervalo desde a soltura até tocar o solo. - A velocidade
significa que a pedra atinge o solo com velocidade de magnitude apontando para baixo.
Força-se atenção à convenção: usei para cima positivo, por isso o valor negativo indica direção para baixo. Você pode arredondar conforme a precisão desejada (aqui usei duas casas decimais).