2 (Movimento em uma dimensão) Um balão de ar quente está subindo a uma taxa de 12 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e está a 50 m acima do solo quando um tripulante deixa cair uma pedra.
(a) Quanto tempo a pedra leva para a tingir o solo?
(b) Qual a velocidade da pedra ao tingir o solo?
Use g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo a seguir foi tirado do enunciado):
  • A pedra é solta de uma altura inicial \,y_0=50\\ \mathrm{m}\,.
  • No instante da soltura, a velocidade inicial da pedra é igual à do balão: \,v_0=12\\ \mathrm{m/s}\, (para cima).
  • A aceleração da gravidade é \,g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}\,.
    O enunciado pede:
    (a) o tempo que a pedra leva para atingir o solo;
    (b) a velocidade da pedra no instante do impacto com o solo.

Passo 2

Escolher uma convenção de sinais e as equações de movimento (explicação didática).
  • Vou tomar para cima como a direção positiva. Assim a aceleração devido à gravidade é \,a=-g=-9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Para movimento com aceleração constante (aqui a=-g), as fórmulas básicas são: y(t)=y_0+v_0 t+\tfrac{1}{2} a t^2,
v(t)=v_0+a t.
Nestas fórmulas:
  • \,y(t)\, é a altura em função do tempo;
  • \,y_0\, é a altura inicial;
  • \,v_0\, é a velocidade inicial;
  • \,a\, é a aceleração (aqui -g);
  • \,v(t)\, é a velocidade em função do tempo;
  • \,t\, é o tempo passado desde a soltura.
  • Para achar o tempo de impacto, impõe-se a condição de que a pedra atinge o solo: \,y(t)=0.

Passo 3

Montar a equação para o tempo de queda substituindo a=-g, y_0=50 e v_0=12 na equação de posição:
0 = y(t) = 50 + 12\,t + \tfrac{1}{2}(-9,8)\,t^2.
Simplificando o termo quadrático:
0 = 50 + 12\,t - 4{,}9\,t^2.
Reescrevendo na forma padrão A t^2 + B t + C = 0:
4{,}9\,t^2 - 12\,t - 50 = 0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para
\,A=4{,}9, \,B=-12, \,C=-50, o discriminante é
\Delta = B^2 - 4AC = (-12)^2 - 4\cdot 4{,}9\cdot(-50).
Calculemos passo a passo:
(-12)^2 = 144,
4\cdot 4{,}9\cdot(-50) = -980,
portanto
\Delta = 144 - (-980) = 144 + 980 = 1124.
A raiz quadrada de \Delta é
\sqrt{\Delta} = \sqrt{1124} \approx 33{,}526\ldots
As soluções da quadrática são
t = \frac{-B \pm \sqrt{\Delta}}{2A} = \frac{12 \pm \sqrt{1124}}{2\cdot 4{,}9} = \frac{12 \pm 33{,}526\ldots}{9{,}8}.
Temos duas raízes; a positiva (física) é
t = \frac{12 + 33{,}526\ldots}{9{,}8} \approx \frac{45{,}526\ldots}{9{,}8} \approx 4{,}65\\ \mathrm{s}.
(A outra raiz é negativa e corresponde a um tempo anterior à soltura, portanto não física.)

Passo 5

Calcular a velocidade no instante do impacto usando \,v(t)=v_0+a t com a=-g:
v(t_{\text{impacto}}) = 12 + (-9{,}8)\cdot 4{,}65.
Calculemos:
-9{,}8\cdot 4{,}65 \approx -45{,}521,
então
v_{\text{impacto}} \approx 12 - 45{,}521 \approx -33{,}521\\ \mathrm{m/s}.
O sinal negativo indica que a velocidade está dirigida para baixo (isto é, a pedra está se movendo para baixo no momento do impacto). Em módulo, a velocidade é aproximadamente \,33{,}5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Resumo físico e interpretação:
  • O tempo de queda encontrado \,t\approx 4{,}65\\ \mathrm{s} é o intervalo desde a soltura até tocar o solo.
  • A velocidade \,v\approx -33{,}5\\ \mathrm{m/s} significa que a pedra atinge o solo com velocidade de magnitude \,33{,}5\\ \mathrm{m/s} apontando para baixo.
    Força-se atenção à convenção: usei para cima positivo, por isso o valor negativo indica direção para baixo. Você pode arredondar conforme a precisão desejada (aqui usei duas casas decimais).

Resposta

t \approx 4{,}65\\ \mathrm{s}
v \approx -33{,}5\\ \mathrm{m/s} (para baixo)

Exercícios relacionados