1 (Movimento em uma dimensão) Um piloto de caça, praticando manobras para não ser detectado por radar, está voando manualmente na horizontal a 500 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, a apenas 30 m acima do nível do solo. De repente, o avião se depara com um terreno que tem uma inclinação suave para cima de \left(7,0^{\circ}\right., um valor difícil de detectar visualmente. Quanto tempo o piloto tem para fazer uma correção para evitar que o avião se espatife no chão? Use g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda):
  • Dados fornecidos:
    • Velocidade horizontal do avião: 500\\ \mathrm{km/h}.
    • Altura do avião acima do nível do solo: 30\\ \mathrm{m}.
    • Inclinação do terreno (ângulo com a horizontal): 7,0^\circ.
    • Valor de g fornecido: g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} (está no enunciado).
  • O que o enunciado pede:
    • “Quanto tempo o piloto tem para fazer uma correção para evitar que o avião se espatife no chão?” — ou seja, o tempo disponível entre o instante em que o avião encontra o terreno inclinado e o momento em que o avião colide com o terreno, assumindo que o avião continua voando horizontalmente sem subir.
Observação importante sobre os dados: peguei a altura 30\\ \mathrm{m}, a velocidade 500\\ \mathrm{km/h}, e o ângulo 7,0^\circ diretamente do enunciado. O enunciado também fornece g, mas isso será verificado se for necessário mais adiante.

Passo 2

Converter unidades para um sistema consistente (metros e segundos), porque tempo será em segundos.
  • Converter a velocidade de \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}. A relação é 1\\ \mathrm{km/h} = \dfrac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s} = \dfrac{5}{18}\\ \mathrm{m/s}. Então:
v = 500\\ \mathrm{km/h} = 500\cdot\dfrac{5}{18}\\ \mathrm{m/s}.
Agora calculamos:
v = \dfrac{2500}{18}\\ \mathrm{m/s} \approx 138{,}888\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Para trabalhar com números práticos, uso v \approx 138{,}89\\ \mathrm{m/s} (arredondando depois).
  • A altura já está em metros: h = 30\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Entender a geometria do problema e escrever a equação que dá a distância horizontal até a colisão.
Explicação trigonométrica simples (sem pressa):
  • Considere o ponto diretamente abaixo do avião no solo inicial como origem horizontal x=0.
  • O terreno sobe com um ângulo \alpha=7{,}0^\circ. Em trigonometria, para um triângulo retângulo, \tan\alpha é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente:
\tan\alpha = \dfrac{\text{elevação}}{\text{distância horizontal}}.çãâ
  • Ao mover-se uma distância horizontal x sobre esse terreno inclinado, a elevação do solo em relação ao nível inicial cresce de \Delta y = x\cdot\tan\alpha.
  • O avião está a altura fixa h acima do nível inicial. A colisão ocorre quando a elevação do solo atingir a altura do avião, isto é:
h - x\cdot\tan\alpha = 0.
Observação sobre g: perceba que a colisão aqui é questão geométrica (o avião voando horizontalmente encontra o solo ascendente). Não precisamos de g para calcular o tempo geométrico até impacto, por isso g não será usado nos cálculos seguintes.

Passo 4

Isolar a distância horizontal até a colisão e calcular numericamente.
Da equação do passo anterior:
x = \dfrac{h}{\tan\alpha}.
Substituindo h=30\\ \mathrm{m} e \alpha=7{,}0^\circ. Primeiro, calcular \tan 7{,}0^\circ. Usando o valor aproximado:
\tan 7{,}0^\circ \approx 0{,}12278.
Então
x \approx \dfrac{30}{0{,}12278} \approx 244{,}3\\ \mathrm{m}.
(Se preferir ver o raciocínio: 30 / 0{,}12278 \approx 244{,}26, arredondei para 244{,}3\\ \mathrm{m}.)

Passo 5

Calcular o tempo disponível usando a velocidade horizontal.
Tempo é distância dividida por velocidade horizontal constante:
t = \dfrac{x}{v}.
Substituindo x \approx 244{,}26\\ \mathrm{m} e v \approx 138{,}888\\ \mathrm{m/s}:
t \approx \dfrac{244{,}26}{138{,}888} \\ \mathrm{s} \approx 1{,}758\\ \mathrm{s}.
Arredondando de forma prática, t \approx 1{,}76\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Interpretação final e nota prática (um empurrãozinho de ânimo):
  • O piloto tem cerca de 1{,}8\\ \mathrm{s} para iniciar alguma correção (subir, puxar o manche, ou girar) antes do impacto, se o avião continuar na mesma altitude e direção. É um tempo muito curto, portanto a manobra precisa ser praticamente imediata.
  • Relembrando: o valor de g fornecido no enunciado não foi usado, porque a questão perguntou apenas o tempo geométrico até o choque considerando que o avião segue em linha reta horizontal; se quiséssemos modelar a trajetória do avião enquanto ele sobe com aceleração vertical (manobra de recuperação), aí sim precisaríamos de g e de dinâmicas do avião.

Resposta

t \approx 1{,}76\\ \mathrm{s}

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