Movimento ao longo de uma elipse Uma partícula se move ao longo da elipse (y / 3)^{2}+(z / 2)^{2}=1 no plano y z de tal maneira que sua posição no instante t seja
\mathbf{r}(t)=(3 \cos t) \mathbf{j}+(2 \operatorname{sen} t) \mathbf{k} .
Encontre os valores máximo e mínimo de |\mathbf{v}| \mathbf{e} \mid \mathbf{a}. (Sugestão: Encontre os valores extremos \mid \mathbf{v}^{2} e \left|\mathbf{a}^{2}\right|^{2} primeiro e extraia a raiz quadrada depois.)

Passo 1

O enunciado dá o movimento de uma partícula sobre a elipse \bigl(y/3\bigr)^{2}+\bigl(z/2\bigr)^{2}=1 no plano yz pela parametrização
\mathbf{r}(t) = \bigl(3\cos t\bigr)\,\mathbf{j} \;+\;\bigl(2\sin t\bigr)\,\mathbf{k}.
Queremos os valores máximo e mínimo do módulo da velocidade \lvert\mathbf{v}\rvert e do módulo da aceleração \lvert\mathbf{a}\rvert. Para isso, vamos (i) derivar \mathbf{r}(t) para achar \mathbf{v}(t) e \mathbf{a}(t), (ii) calcular \lvert\mathbf{v}\rvert^{2} e \lvert\mathbf{a}\rvert^{2}, (iii) encontrar seus extremos e (iv) extrair a raiz.

Passo 2

Derivando em t obtemos a velocidade e sua magnitude ao quadrado:
\mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = -3\sin t\,\mathbf{j} \;+\;2\cos t\,\mathbf{k},
\lvert\mathbf{v}(t)\rvert^{2} = (-3\sin t)^{2} + (2\cos t)^{2} = 9\sin^{2}t + 4\cos^{2}t.

Passo 3

Note que
9\sin^{2}t + 4\cos^{2}t = 4 + 5\sin^{2}t,
e como 0\le \sin^{2}t\le 1, os extremos são
\min \lvert\mathbf{v}\rvert^{2} = 4 \quad(\sin^{2}t=0), \qquad \max \lvert\mathbf{v}\rvert^{2} = 9 \quad(\sin^{2}t=1).
Extraindo raiz:
\min \lvert\mathbf{v}\rvert = 2, \qquad \max \lvert\mathbf{v}\rvert = 3.

Passo 4

Derivando mais uma vez achamos a aceleração e seu quadrado do módulo:
\mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = -3\cos t\,\mathbf{j} \;-\;2\sin t\,\mathbf{k},
\lvert\mathbf{a}(t)\rvert^{2} = (-3\cos t)^{2} + (-2\sin t)^{2} = 9\cos^{2}t + 4\sin^{2}t = 4 + 5\cos^{2}t.

Passo 5

Como 0\le \cos^{2}t\le 1, temos
\min \lvert\mathbf{a}\rvert^{2} = 4 \quad(\cos^{2}t=0), \qquad \max \lvert\mathbf{a}\rvert^{2} = 9 \quad(\cos^{2}t=1).
Extraindo raiz:
\min \lvert\mathbf{a}\rvert = 2, \qquad \max \lvert\mathbf{a}\rvert = 3.

Resposta

O módulo da velocidade varia entre 2 e 3, e o módulo da aceleração também varia entre 2 e 3.

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