Verifique se existem ou não os limites abaixo. Caso existam, calcule:
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)} \frac{\sin \left(y-2 x^{3}\right)}{y-2 x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{\sin\bigl(y-2x^3\bigr)}{y-2x^3}
quando (x,y)\to(1,2). O conteúdo é limite de função de duas variáveis via mudança de variável para reduzir ao limite univariado \lim_{u\to0}\sin(u)/u.

Passo 2

Definimos a variável auxiliar
u=y-2x^3.
Quando (x,y)\to(1,2), temos
u\to 2-2\cdot1^3=0.

Passo 3

Sabemos do cálculo univariado que
\lim_{u\to0}\frac{\sin(u)}{u}=1.
Como f(x,y)=\sin(u)/u e u\to0 independentemente do caminho que (x,y) faz, o limite de f existe e coincide com esse valor.

Resposta

1

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