Resolva as seguintes EDO’s de Primeira Ordem usando o Método de Separação de Variáveis.
Determine y=y(x) que satisfaça as condições dadas.
y^{\prime}=y^{2}-4 e y(0)=1.

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = y^{2} - 4
com condição inicial y(0)=1.
O método a usar é Separação de Variáveis: escrevemos a derivada como razão de diferenciais e separamos as y de um lado e x do outro.

Passo 2

Separamos variáveis:
\frac{dy}{y^{2}-4} = dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Lembrando a primitiva
\int \frac{dy}{y^{2}-a^{2}} = \frac{1}{2a}\ln\Bigl|\frac{y-a}{y+a}\Bigr| + C,
com a=2, obtemos
\int \frac{dy}{y^{2}-4} = \frac{1}{4}\ln\Bigl|\frac{y-2}{y+2}\Bigr| + C = \int dx = x + C.

Passo 4

Isso dá a relação implícita
\frac{1}{4}\ln\Bigl|\frac{y-2}{y+2}\Bigr| = x + C.
Multiplicando por 4 e exponenciando,
\ln\Bigl|\frac{y-2}{y+2}\Bigr| = 4x + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad \Bigl|\frac{y-2}{y+2}\Bigr| = e^{4x+C_{1}} = K\,e^{4x}.

Passo 5

Aplicamos y(0)=1. Nesse ponto
\frac{y-2}{y+2}\Big|_{x=0} = \frac{1-2}{1+2} = -\tfrac{1}{3},
ou seja, o quociente é negativo. Portanto
\frac{y-2}{y+2} = -\frac{1}{3}e^{4x}.

Passo 6

Multiplicamos em cruz e isolamos y:
-3\,(y - 2) = e^{4x}\,(y + 2) \quad\Longrightarrow\quad -3y + 6 = y\,e^{4x} + 2\,e^{4x}
-3y - y\,e^{4x} = 2\,e^{4x} - 6 \quad\Longrightarrow\quad y\,\bigl(-3 - e^{4x}\bigr) = 2\,e^{4x} - 6
y = \frac{2\,e^{4x} - 6}{-3 - e^{4x}} = \frac{6 - 2\,e^{4x}}{3 + e^{4x}} = 2\,\frac{3 - e^{4x}}{3 + e^{4x}}.

Resposta

y(x) = 2\,\frac{3 - e^{4x}}{3 + e^{4x}}.

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