O movimento de uma partícula é definido pela relação x=53 t^3-52 t^2-30 t+8, onde x e t são expressos em metros e segundos, respectivamente. Determine o tempo, a posição e a aceleração quando v=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício tá na área de cinemática e cálculo diferencial. A partícula tem posição dada por
x(t)=53t^3-52t^2-30t+8,,
queremos achar o instante em que a velocidade é zero, e daí descobrir também a posição e a aceleração nesse instante. Para isso a gente vai usar derivadas: primeira derivada de nos dá e segunda derivada nos dá .

Passo 2

Primeiro, vamos achar a velocidade ddtl(t^nr)=n,t^n-1 . A regra é a tal da “power rule”:
v(t)=x'(t) =ddtl(tfrac53t^3r) -ddtl(tfrac52t^2r) -ddt(30t) +ddt(8)
Então, derivando termo a termo:
ddtl(tfrac53t^3r)=tfrac53cdot3,t^2=5t^2, ddtl(tfrac52t^2r)=tfrac52cdot2,t=5t, ddt(30t)=30, ddt(8)=0
Calculando:
v(t)=5t^2-5t-30
Logo

Passo 3

Agora a gente impõe 5t^2-5t-30=0Longrightarrow t^2-t-6=0 :
t=1pmraiz1+242=1pm52
(dividindo tudo por 5). Essa é uma equação quadrática, que resolve com a fórmula
Isso dá ou .

Passo 4

Como tempo a gente geralmente considera t=3 s , o valor válido é

Passo 5

Agora calcula a posição x(t)=53t^3-52t^2-30t+8 . É só trocar x(3)=53cdot27-52cdot9-30cdot3+8 =45-22.5-90+8=-59.5 m em
Fazendo as contas:

Passo 6

Pra achar a aceleração a(t)=v'(t)=ddt(5t^2-5t-30)=10t-5 , a gente deriva a(3)=10cdot3-5=30-5=25 m/s^2 :
Em :

Resposta

Tempo:
Posição:
Aceleração:

Exercícios relacionados