O movimento de uma partícula está definido pelo vetor de posição:
r=A(\cos (t)+t \cdot \operatorname{sen}(t)) \boldsymbol{i}+A(\operatorname{sen}(t)-t \cdot \cos (t)) \boldsymbol{j}
onde t e expresso em segundos. Determine os valores de t para os quais o vetor de posição e o vetor de aceleração são
perpendiculares

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor posição
\mathbf{r}(t)=A\bigl(\cos t + t\sin t\bigr)\,\mathbf{i} + A\bigl(\sin t - t\cos t\bigr)\,\mathbf{j}
e pede os valores de t para os quais \mathbf{r}(t) é perpendicular ao vetor aceleração \mathbf{a}(t). Para isso vamos:
  1. derivar \mathbf{r}(t) para obter a velocidade \mathbf{v}(t);
  2. derivar \mathbf{v}(t) para obter a aceleração \mathbf{a}(t);
  3. calcular o produto interno \mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{a}(t);
  4. resolver \mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{a}(t)=0.

Passo 2

Derivando componente a componente, a velocidade é
v_x=\frac{d}{dt}\bigl[A(\cos t + t\sin t)\bigr] =A\bigl(-\sin t + \sin t + t\cos t\bigr) =A\,t\cos t,
v_y=\frac{d}{dt}\bigl[A(\sin t - t\cos t)\bigr] =A\bigl(\cos t -\cos t + t\sin t\bigr) =A\,t\sin t.
Logo
\mathbf{v}(t)=A\,t\cos t\,\mathbf{i} + A\,t\sin t\,\mathbf{j}.

Passo 3

Derivando novamente para achar a aceleração:
a_x=\frac{d}{dt}(A\,t\cos t) =A\bigl(\cos t - t\sin t\bigr),
a_y=\frac{d}{dt}(A\,t\sin t) =A\bigl(\sin t + t\cos t\bigr).
Assim
\mathbf{a}(t)=A\bigl(\cos t - t\sin t\bigr)\,\mathbf{i} + A\bigl(\sin t + t\cos t\bigr)\,\mathbf{j}.

Passo 4

O produto interno é
\mathbf{r}\cdot\mathbf{a} =A^2\bigl(\cos t + t\sin t\bigr)\bigl(\cos t - t\sin t\bigr) +A^2\bigl(\sin t - t\cos t\bigr)\bigl(\sin t + t\cos t\bigr).
Cada par de fatores tem a forma (u+v)(u-v)=u^2-v^2, então
\mathbf{r}\cdot\mathbf{a} =A^2\bigl(\cos^2t - t^2\sin^2t + \sin^2t - t^2\cos^2t\bigr) =A^2\bigl(1 - t^2\bigr).

Passo 5

Para \mathbf{r}\perp\mathbf{a} precisamos de
\mathbf{r}\cdot\mathbf{a}=0 \quad\Longrightarrow\quad A^2(1 - t^2)=0 \quad\Longrightarrow\quad t^2=1
ou seja
t=\pm 1.
Se considerarmos apenas t\ge0, então t=1 s.

Resposta

Os valores de t que tornam \mathbf{r} perpendicular a \mathbf{a} são
t=\pm 1
(ou, restringindo a t\ge0, temos t=1 s).

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