O movimento de uma partícula está definido pelo vetor de posição:
r=A(\cos (t)+t \cdot \operatorname{sen}(t)) \boldsymbol{i}+A(\operatorname{sen}(t)-t \cdot \cos (t)) \boldsymbol{j}
onde t e expresso em segundos. Determine os valores de t para os quais o vetor de posição e o vetor de aceleração são
paralelos

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor posição
\mathbf{r}(t)=A\bigl(\cos t + t\sin t\bigr)\,\mathbf{i}+A\bigl(\sin t - t\cos t\bigr)\,\mathbf{j}
e pede os instantes t para os quais \mathbf{r}(t) e o vetor aceleração \mathbf{a}(t) são paralelos.
Conteúdo: cálculo de derivadas de \mathbf{r}(t) para obter \mathbf{a}(t) e uso da condição de paralelismo de vetores em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Primeiro calculamos a velocidade \mathbf{v}(t)=\dot{\mathbf{r}}(t).
Para a componente x:
r_x(t)=A\bigl(\cos t + t\sin t\bigr)\implies v_x(t)=A\bigl(-\sin t +\sin t +t\cos t\bigr)=A\,t\cos t.
Para a componente y:
r_y(t)=A\bigl(\sin t - t\cos t\bigr)\implies v_y(t)=A\bigl(\cos t -\cos t +t\sin t\bigr)=A\,t\sin t.
Agora a aceleração é \mathbf{a}(t)=\dot{\mathbf{v}}(t).
Para x:
a_x(t)=\frac{d}{dt}\bigl[A\,t\cos t\bigr]=A\bigl(\cos t - t\sin t\bigr),
para y:
a_y(t)=\frac{d}{dt}\bigl[A\,t\sin t\bigr]=A\bigl(\sin t + t\cos t\bigr).

Passo 3

Dois vetores em \mathbb{R}^2 são paralelos se e somente se
r_x\,a_y-r_y\,a_x=0.

Passo 4

Substituindo
r_x=a\bigl(\cos t + t\sin t\bigr),\quad r_y=A\bigl(\sin t - t\cos t\bigr),
a_x=A\bigl(\cos t - t\sin t\bigr),\quad a_y=A\bigl(\sin t + t\cos t\bigr),
obtemos
r_x\,a_y-r_y\,a_x =A^2\Bigl[(\cos t + t\sin t)(\sin t + t\cos t)-(\sin t - t\cos t)(\cos t - t\sin t)\Bigr].
Expandindo e simplificando, tudo se reduz a
A^2\cdot 2t.

Passo 5

A condição r_x\,a_y-r_y\,a_x=0 implica
2A^2\,t=0\quad\Longrightarrow\quad t=0.

Resposta

t=0

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