Derivada do produto vetorial
Dadas a(t)=(2 t, 1,-t) e b(t)=(t, t^3, 0), encontre dd t[a(t) times b(t)].

Passo 1

O enunciado pede a derivada do produto vetorial a(t)timesb(t). Isso envolve o conteúdo de cálculo vetorial: a regra de derivação do produto cruzado, que diz
ddtl[a(t)timesb(t)r] =a'(t)timesb(t)+a(t)timesb'(t)

Passo 2

Vamos primeiro encontrar as derivadas dos vetores componentes:
a(t)=(2t,,1,,-t) Longrightarrow a'(t)=(2,,0,,-1),
b(t)=(t,,t^3,,0) Longrightarrow b'(t)=(1,,3t^2,,0)

Passo 3

Agora calculamos a'(t)timesb(t). Usando a fórmula
(x1,x2,x3)times(y1,y2,y3) =l(x2y3-x3y2,;x3y1-x1y3,;x1y2-x2y1r),
com a'(t)=(2,0,-1) e b(t)=(t,t^3,0), temos
a'timesb =l(0cdot0-(-1),t^3,;(-1),t-2cdot0,;2,t^3-0cdot tr) =(t^3,,-t,;2t^3)

Passo 4

Em seguida calculamos a(t)timesb'(t) com a(t)=(2t,1,-t) e b'(t)=(1,3t^2,0):
atimesb' =l(1cdot0-(-t),3t^2,;(-t),1-2tcdot0,;2tcdot3t^2-1cdot1r) =(3t^3,,-t,;6t^3-1)

Passo 5

Somando os dois termos da regra do produto vetorial:
ddt[atimesb] =a'timesb+atimesb' =(t^3,,-t,;2t^3)+(3t^3,,-t,;6t^3-1)
Isso dá
ddt[a(t)timesb(t)] =(4t^3,,-2t,;8t^3-1)

Resposta

ddt[a(t)timesb(t)] =(4t^3,,-2t,;8t^3-1)

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