Nos Exercícios de 1 a 10, faça o seguinte: (a) ache o raio de convergência da série de potências dada e o domínio de fi (b) escreva a série de potências que define a funçāo f^prime e ache seu raio de convergência, usando os métodos da Seção 13.1 (verificando assim o Teorema 13.2.1); (c) ache o dominio de f^prime.
8. f(x)=sumn=1^+infty x^2 n-2(2 n-2)!

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
f(x)=sumn=1^inftyx^2n-2(2n-2)!
e pede:
(a) o raio de convergência R e o domínio de f;
(b) a série que define f' e seu raio de convergência R';
(c) o domínio de f'.
O conteúdo usado será o teste da razão para séries de potências e a diferenciação termo a termo.

Passo 2

Para achar R aplicamos o teste da razão à série original. Defina o termo
Tn=x^2n-2(2n-2)!
Então
|Tn+1Tn| =|x|^2(n+1)-2/(2(n+1)-2)!|x|^2n-2/(2n-2)! =|x|^2(2n)(2n-1)
Como
limntoinfty|x|^2(2n)(2n-1)=0<1
para todo x, concluímos que o raio de convergência é
R=infty
e, portanto, o domínio de f é todo R.

Passo 3

Diferenciando termo a termo,
ddxl(x^2n-2r) =(2n-2),x^2n-3,
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f'(x) =sumn=1^inftyddx!l(x^2n-2(2n-2)!r) =sumn=1^infty(2n-2),x^2n-3(2n-2)!
Note que para n=1 o termo é zero, então podemos começar a soma em n=2. Simplificando o fatorial:
f'(x) =sumn=2^inftyx^2n-3(2n-3)!
Fazendo a reindexação m=n-1 (de m=1 a infty):
f'(x)=summ=1^inftyx^2m-1(2m-1)!

Passo 4

Aplicamos o teste da razão à série de f'. Defina
Sm=x^2m-1(2m-1)!
Então
|Sm+1Sm| =|x|^2(m+1)-1/(2(m+1)-1)!|x|^2m-1/(2m-1)! =|x|^2(2m+1)(2m)
E
limmtoinfty|x|^2(2m+1)(2m)=0<1
para todo x, de modo que o raio de convergência de f' é
R'=infty
e seu domínio também é todo R.

Resposta

(a) R=infty, dom f=R.
(b)
f'(x) =sumn=2^inftyx^2n-3(2n-3)! =summ=1^inftyx^2m-1(2m-1)!,
e R'=infty.
(c) dom f'=R.

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