O movimento de uma partícula, para t>0, é definido pelas equações
\begin{aligned} & x(t)=a_{x} t^{2}+c_{1} \\\ & y(t)=a_{y} t^{2}-c_{2} \end{aligned}
(uma partícula carregada, sujeita a uma força gravitacional vertical, movendo-se num campo elétrico horizontal obedeceria a equações desta forma).
(a) Determine a expressão da velocidade e da aceleração como funções do tempo para um movimento descrito por estas equações.
(b) Quais as dimensões das constantes a_{x}, a_{y}, c_{1} e c_{2} ?
(c) Qual o significado físico das constantes c_{1} e c_{2} ?
(d) Determine a velocidade e a aceleração da partícula para t=2 s.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas de posição de uma partícula em duas dimensões para t>0:
x(t)=a_{x}t^{2}+c_{1}, \quad y(t)=a_{y}t^{2}-c_{2}.
Vamos usar cálculo de derivadas para obter velocidade e aceleração, análise dimensional para as constantes e interpretação física de c_{1} e c_{2}. Por fim, substituiremos t=2\text{ s}.

Passo 2

Para achar a velocidade \vec v(t) e a aceleração \vec a(t), derivamos a posição \vec r(t)=x(t)\,\hat\imath + y(t)\,\hat\jmath:
\vec v(t)=\frac{d\vec r}{dt} =\frac{dx}{dt}\,\hat\imath+\frac{dy}{dt}\,\hat\jmath =(2a_{x}t)\,\hat\imath+(2a_{y}t)\,\hat\jmath,
\vec a(t)=\frac{d\vec v}{dt} =\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\,\hat\imath+\frac{d^{2}y}{dt^{2}}\,\hat\jmath =(2a_{x})\,\hat\imath+(2a_{y})\,\hat\jmath.

Passo 3

Analisando dimensões. Como x e y têm dimensão de comprimento [L] e t de tempo [T]:
[a_{x}]\;=\;\frac{[x]}{[t]^{2}} =\frac{L}{T^{2}}, \quad [a_{y}]=\frac{L}{T^{2}}.
c_{1} e c_{2} aparecem somados a termos em t^{2}, logo têm dimensão de comprimento:
[c_{1}]=[c_{2}]=L.

Passo 4

Os termos c_{1} e c_{2} são constantes de integração que fixam a posição inicial da partícula. Em particular:
x(0)=c_{1}, \quad y(0)=-\,c_{2}.
Assim, c_{1} é a abscissa inicial e c_{2} está relacionado à ordenada inicial.

Passo 5

Para t=2\text{ s}, basta substituir em \vec v(t) e \vec a(t):
\vec v(2)=\bigl(2a_{x}\cdot2\bigr)\,\hat\imath+\bigl(2a_{y}\cdot2\bigr)\,\hat\jmath =(4a_{x})\,\hat\imath+(4a_{y})\,\hat\jmath,
\vec a(2)=(2a_{x})\,\hat\imath+(2a_{y})\,\hat\jmath,
note que \vec a(t) é constante em t.

Resposta

(a) \displaystyle \vec v(t)=(2a_{x}t)\,\hat\imath+(2a_{y}t)\,\hat\jmath,\quad \vec a(t)=(2a_{x})\,\hat\imath+(2a_{y})\,\hat\jmath.
(b) [a_{x}]=[a_{y}]=L/T^{2},\quad [c_{1}]=[c_{2}]=L.
(c) c_{1}=x(0) é a posição inicial em x, e c_{2} se relaciona a y(0) via y(0)=-c_{2}.
(d) \displaystyle \vec v(2)=(4a_{x})\,\hat\imath+(4a_{y})\,\hat\jmath,\quad \vec a(2)=(2a_{x})\,\hat\imath+(2a_{y})\,\hat\jmath.

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