A posição de uma partícula ao longo do eixo x é dada por
x(t)=A t-B t^{-2}
Onde A=1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e B=1 \mathrm{~ms}^{2}. Faça um gráfico para t>0 de x(t), v(t) e a(t).

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula em função do tempo
x(t)=A\,t - B\,t^{-2},
com A=1\\ \mathrm{m/s} e B=1\\ \mathrm{m\,s^2}, e pede os gráficos de x(t), v(t) e a(t) para t>0. O conteúdo é cinemática unidimensional, em que obtemos velocidade e aceleração por diferenciação.

Passo 2

Derivando x(t) obtemos a velocidade:
v(t)=\frac{dx}{dt} =A + 2B\,t^{-3}.
Substituindo A=1 e B=1,
v(t)=1 + 2\,t^{-3}.
Derivando novamente, obtemos a aceleração:
a(t)=\frac{dv}{dt} =-6B\,t^{-4} =-6\,t^{-4}.

Passo 3

Análise de x(t):
\lim_{t\to0^+}x(t) =\lim_{t\to0^+}\bigl(t - t^{-2}\bigr) =-\infty, \quad \lim_{t\to\infty}x(t)=\infty.
Como v(t)>1 para todo t>0, x(t) é sempre crescente. E como a(t)<0, a curva de x(t) é côncava para baixo. Para t\to\infty, x(t)\approx t, mostrando assíntota reta de inclinação 1.

Passo 4

Análise de v(t)=1+2t^{-3}:
\lim_{t\to0^+}v(t)=+\infty, \quad \lim_{t\to\infty}v(t)=1.
Como a(t)=dv/dt<0, v(t) é estritamente decrescente. E como d^2v/dt^2=24\,t^{-5}>0, a curva de v(t) é convexa para cima.

Passo 5

Análise de a(t)=-6\,t^{-4}:
\lim_{t\to0^+}a(t)=-\infty, \quad \lim_{t\to\infty}a(t)=0^-.
Como da/dt=24\,t^{-5}>0, a(t) é crescente (se aproxima de zero por baixo), mas permanece sempre negativa. É uma hipérbole decrescente em módulo.

Resposta

Para t>0, os três gráficos têm a forma abaixo (em eixos t horizontal e x, v ou a vertical):
\bullet x(t): parte de -\infty em t\to0^+, cresce sem parar, é côncava para baixo e se aproxima da reta x=t à medida que t\to\infty.
\bullet v(t): parte de +\infty em t\to0^+, decresce monotonicamente e convexa para cima, tendendo a v=1 quando t\to\infty.
\bullet a(t): parte de -\infty em t\to0^+, cresce (em módulo diminui) de forma hiperbólica, permanecendo negativa e tendendo a 0 por baixo quando t\to\infty.

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