O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação y= -40x² + 200x. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente, a
(A) 6,25 m, 5s
(B) 250 m, 0s
© 250 m, 5s
(D) 250 m, 200s
(E) 10.000 m, 5s.
(A) 6,25 m, 5s
(B) 250 m, 0s
© 250 m, 5s
(D) 250 m, 200s
(E) 10.000 m, 5s.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a equação do movimento de um projétil lançado verticalmente para cima: $ y = -40x^2 + 200x $, onde $ y $ é a altura em metros e $ x $ é o tempo em segundos após o lançamento. A gente precisa descobrir qual é a altura máxima que o projétil alcança e quanto tempo ele fica no ar. Para isso, vamos usar conhecimentos de matemática sobre funções do segundo grau e um pouquinho de física básica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação $ y = -40x^2 + 200x $. Essa é uma função quadrática, e o gráfico dela é uma parábola. O coeficiente de $ x^2 $ é negativo ($ -40 $), o que significa que a parábola abre para baixo. Isso indica que existe um ponto mais alto, ou seja, uma altura máxima.
Passo 3
Para encontrar a altura máxima, precisamos descobrir o vértice da parábola. A fórmula para encontrar o valor de $ x $ no vértice de uma função quadrática $ y = ax^2 + bx + c $ é:
No nosso caso, $ a = -40 $ e $ b = 200 $. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Então, o projétil atinge a altura máxima 2,5 segundos após o lançamento.
Passo 4
Agora, vamos calcular essa altura máxima substituindo $ x = 2,5 $ na equação original:
Primeiro, calculamos $ (2,5)^2 = 6,25 $:
Portanto, a altura máxima atingida é de 250 metros.
Passo 5
Para descobrir o tempo total que o projétil permanece no ar, precisamos encontrar quando ele retorna ao solo, ou seja, quando $ y = 0 $. Vamos resolver a equação:
Podemos fatorar:
Isso nos dá duas soluções:
Ignoramos $ x = 0 $ porque corresponde ao momento do lançamento. Resolvendo a segunda equação:
Então, o projétil fica no ar por 5 segundos.
Resposta
A altura máxima atingida é de 250 metros e o projétil permanece no ar por 5 segundos. Portanto, a alternativa correta é a © 250 m, 5s.