O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação y = – 40x² + 200x. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar correspondem, respectivamente, a:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um projétil que foi lançado pra cima e a altura que ele atinge, em metros, está dada pela equação $ y = -40x^2 + 200x $, onde $ y $ é a altura e $ x $ é o tempo em segundos após o lançamento. Nosso objetivo aqui é descobrir duas coisas: qual foi a altura máxima que o projétil alcançou e quanto tempo ele ficou no ar antes de cair.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a altura máxima que o projétil atingiu. A equação que temos é uma parábola, e o ponto mais alto dessa parábola é o vértice. A fórmula para encontrar o tempo ($ x $) em que isso acontece é $ x = -\frac{b}{2a} $, onde $ a $ e $ b $ são os coeficientes da equação quadrática $ y = ax^2 + bx + c $.
Aqui, $ a = -40 $ e $ b = 200 $. Então:
x

Passo 3

Agora que sabemos que a altura máxima ocorre aos 2,5 segundos, vamos calcular qual é essa altura. Basta substituir $ x = 2,5 $ na equação original:
x = 2,5

Passo 4

Para descobrir quanto tempo o projétil ficou no ar, precisamos saber em que momento a altura $ y $ volta a ser zero (quando ele toca o chão). Resolvemos a equação $ -40x^2 + 200x = 0 $.
Podemos fatorar $ x $:
y
Então, $ x = 0 $ (no lançamento) ou $ -40x + 200 = 0 $. Resolvendo a segunda parte:
-40x^2 + 200x = 0

Resposta

A altura máxima atingida pelo projétil é de 250 metros e o tempo que ele permanece no ar é de 5 segundos.

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