O movimento vibratório de uma membrana elástica quadrada de lado L (como o couro de um tambor), que encontra-se num plano XY de um sistema de coordenadas e tem as bordas fixas, é dado pela equação de ondas bidimensional:
partial^2 zpartial x^2+partial^2 zpartial y^2-1v^2 partial^2 zpartial t^2=0
na qual z(x, y, t) é a vibração transversal ao plano XY e v a velocidade de propagação das ondas na membrana. Usando o método de separação de variáveis, encontre a solução geral da equação de ondas. Considere ainda que a membrana é fixada de tal maneira que seus vértices encontram-se nos pontos (0,0),(L, 0),(L, L) e (0, L).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra encontrar a solução geral da equação de ondas bidimensional
partial^2 zpartial x^2 + partial^2 zpartial y^2 - 1v^2,partial^2 zpartial t^2 = 0
num quadrado de lado L com as bordas “presas” (isto é, z=0 em x=0,L e em y=0,L).
Conteúdo: equação de ondas 2D e método de separação de variáveis.
O que vamos precisar:
- Assumir z(x,y,t)=X(x),Y(y),T(t);
- Impor condições de contorno nas bordas;
- Resolver as ODEs resultantes (autovalores e autovetores);
- Montar a soma das soluções (superposição).

Passo 2

Separação de variáveis = a gente “quebra” z em produto de funções de cada variável:
z(x,y,t)=X(x);Y(y);T(t)
Por quê? Porque aí a equação de PDE vira três ODEs mais fáceis de resolver, e as condições de contorno separam em cada direção.

Passo 3

Substitui na onda:
X''(x),Y,T + X,Y''(y),T - 1v^2,X,Y,T''(t)=0
Dividindo por X,Y,T
X''X + Y''Y = 1v^2,T''T
O lado esquerdo depende só de x,y e o direito só de t, então cada lado é igual a uma constante negativa, digamos -k^2. Isso gera duas equações:
  1. X''X + Y''Y = -k^2,
  2. T'' + v^2,k^2,T = 0

Passo 4

Agora separamos ainda mais a parte espacial: escrevemos
X''X = -kx^2, Y''Y = -ky^2,, com kx^2+ky^2=k^2
Então cada eixo satisfaz:
X(x): X'' + kx^2,X = 0, X(0)=0,;X(L)=0
Esse tipo de ODE + essas bordas dá soluções do tipo senos:
kx = npiL, Xn(x)=sin!l(npi x/Lr), n=1,2,dots

Passo 5

Mesma história pra Y(y) com as condições Y(0)=0,;Y(L)=0:
Ym(y)=sin!l(mpi y/Lr), ky=mpiL, m=1,2,dots

Passo 6

Como k^2=kx^2+ky^2, temos
knm=raizl(npiLr)^2 + l(mpiLr)^2 = piLraizn^2+m^2
Volta na equação de T(t):
T'' + v^2,knm^2,T = 0 ;Longrightarrow; Tnm(t)=Anmcos(omeganmt)+Bnmsin(omeganmt),
onde
omeganm=v,knm = v,piLraizn^2+m^2

Passo 7

Cada par (n,m) gera um modo de vibração
znm(x,y,t)=l[Anmcos(omeganmt)+Bnmsin(omeganmt)r];sin!l(tfracnpi xLr),sin!l(tfracmpi yLr)
Como a equação é linear, a solução geral é a soma (superposição) de todos esses modos.

Passo 8

Juntando tudo, temos a solução geral
z(x,y,t) =sumn=1^inftysumm=1^infty l[Anmcos(omeganmt)+Bnmsin(omeganmt)r] sin!l(tfracnpi xLr), sin!l(tfracmpi yLr),
com
omeganm = v,piL,raizn^2 + m^2

Resposta

boxed z(x,y,t) =sumn=1^inftysumm=1^infty l[Anmcos(tfracvpiLraizn^2+m^2,t) +Bnmsin(tfracvpiLraizn^2+m^2,t)r] sin!l(tfracnpi xLr) sin!l(tfracmpi yLr)

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