O movimento vibratório de uma membrana elástica quadrada de lado
(como o couro de um tambor), que encontra-se num plano
de um sistema de coordenadas e tem as bordas fixas, é dado pela equação de ondas bidimensional:
na qual
é a vibração transversal ao plano
e
a velocidade de propagação das ondas na membrana. Usando o método de separação de variáveis, encontre a solução geral da equação de ondas. Considere ainda que a membrana é fixada de tal maneira que seus vértices encontram-se nos pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra encontrar a solução geral da equação de ondas bidimensional
num quadrado de lado
Conteúdo: equação de ondas 2D e método de separação de variáveis.
O que vamos precisar:
- Assumir
- Impor condições de contorno nas bordas;
- Resolver as ODEs resultantes (autovalores e autovetores);
- Montar a soma das soluções (superposição).
Passo 2
Separação de variáveis = a gente “quebra”
em produto de funções de cada variável:
Por quê? Porque aí a equação de PDE vira três ODEs mais fáceis de resolver, e as condições de contorno separam em cada direção.
Passo 3
Substitui na onda:
Dividindo por
O lado esquerdo depende só de
e o direito só de
, então cada lado é igual a uma constante negativa, digamos
. Isso gera duas equações:
Passo 4
Agora separamos ainda mais a parte espacial: escrevemos
Então cada eixo satisfaz:
X(x):
Esse tipo de ODE + essas bordas dá soluções do tipo senos:
Passo 5
Mesma história pra
com as condições
:
Passo 6
Como
, temos
Volta na equação de
onde
Passo 7
Cada par
gera um modo de vibração
Como a equação é linear, a solução geral é a soma (superposição) de todos esses modos.
Passo 8
Juntando tudo, temos a solução geral
com