Obtenha a forma geral do deslocamento transversal de uma corda vibrante de comprimento ell com as duas extremidades livres. (Use o método que achar conveniente)

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente achar a forma geral do deslocamento transversal de uma corda vibrante de comprimento cujas duas pontas são livres.
Conteúdo envolvido: equação da onda (PDE), condições de contorno “livre” (Neumann: derivada espacial zero nas extremidades) e método de separação de variáveis para achar modos normais. A gente vai precisar:
  • Escrever a equação da onda clássica: .
  • Impor as condições de contorno livres: e .
  • Aplicar separação de variáveis .

Passo 2

Começando a resolver de verdade, metemos o chute de separação de variáveis: assumimos
y(x,t) ;=; X(x),T(t)
Substituindo na equação da onda
ytt=c^2,yxx ;Longrightarrow; X(x),T''(t) ;=; c^2,X''(x),T(t)
Dividindo os dois lados por T''(t)c^2,T(t) ;=; X''(x)X(x) ;=; -lambda (e igualando a uma constante ) dá
Isso gera duas EDOs acopladas:
  1. ,
  2. .

Passo 3

Agora a gente impõe as condições de contorno “livre” (Neumann):
yx(0,t)=0 ;Longrightarrow; X'(0),T(t)=0 e yx(ell,t)=0 ;Longrightarrow; X'(ell),T(t)=0
Como X'(0)=0 e X'(ell)=0 não é sempre zero, exige-se
X(x) = Acos(kx) com X'(x)=-A,ksin(kx),
Para a EDO kell = npi, n=0,1,2,dots ;Longrightarrow; kn = npiell , as soluções não-triviais vêm com Xn(x)=cos!l(npi x/ellr) . As condições e levam a
e a segunda condição pede . Assim
Logo os modos espaciais são

Passo 4

Voltando na EDO do tempo, T'' + gl(c,npiellgr)^2T = 0, . Com Tn(t) = Ancos!l(omegan tr) + Bnsin!l(omegan tr), , isso é
cuja solução geral é
onde .

Passo 5

Por linearidade da equação da onda, a solução geral é combinação de todos os modos y(x,t) =sumn=0^infty l[Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t)r] ;Xn(x), . Assim
com e .

Resposta

A forma geral do deslocamento transversal para a corda com pontas livres é
boxed y(x,t) =sumn=0^infty l[Ancosl(c,tfracnpiell,tr) + Bnsinl(c,tfracnpiell,tr)r] cos!l(npi x/ellr),
onde e são constantes definidas pela condição inicial.

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