Obtenha a forma geral do deslocamento transversal de uma corda vibrante de comprimento
com as duas extremidades livres. (Use o método que achar conveniente)
Passo 1
Beleza, a questão pede pra gente achar a forma geral do deslocamento transversal
de uma corda vibrante de comprimento
cujas duas pontas são livres.
Conteúdo envolvido: equação da onda (PDE), condições de contorno “livre” (Neumann: derivada espacial zero nas extremidades) e método de separação de variáveis para achar modos normais. A gente vai precisar:
Conteúdo envolvido: equação da onda (PDE), condições de contorno “livre” (Neumann: derivada espacial zero nas extremidades) e método de separação de variáveis para achar modos normais. A gente vai precisar:
- Escrever a equação da onda clássica:
. - Impor as condições de contorno livres:
e . - Aplicar separação de variáveis
.
Passo 2
Começando a resolver de verdade, metemos o chute de separação de variáveis: assumimos
Substituindo na equação da onda
Dividindo os dois lados por
(e igualando a uma constante
) dá
Isso gera duas EDOs acopladas:
-
, -
.
Passo 3
Agora a gente impõe as condições de contorno “livre” (Neumann):
Como
não é sempre zero, exige-se
Para a EDO
, as soluções não-triviais vêm com
. As condições
e
levam a
e a segunda condição pede
. Assim
Logo os modos espaciais são
Passo 4
Voltando na EDO do tempo,
. Com
, isso é
cuja solução geral é
onde
.
Passo 5
Por linearidade da equação da onda, a solução geral é combinação de todos os modos
. Assim
com
e
.
Resposta
A forma geral do deslocamento transversal para a corda com pontas livres é
onde
e
são constantes definidas pela condição inicial.