Uma onda unidimensional periódica, de período espacial pi / 2, que se propaga para à direita é tal que, em t=0, é dada por y(x, 0)=f(x)=cos x para 0 <= x. Encontre uma expressão para a onda em série de Fourier.

Passo 1

Beleza, vamos lá: o enunciado diz que temos uma onda unidimensional, com período espacial y(x,0)=f(x)=cos xpara 0<= x, que em f(x)=a02+sumn=1^inftyl[ancosl(kn xr)+bnsinl(kn xr)r], vale
an=2Pintegral0^P f(x)cos(kn x),dx, bn=2Pintegral0^P f(x)sin(kn x),dx,
e que se propaga para a direita (ou seja, ).
O conteúdo aqui é série de Fourier de funções periódicas. Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Saber que numa função de período dá para escrever
com .
2) As fórmulas dos coeficientes
e identidade produto-para-soma pra resolver as integrais sem pular etapa.

Passo 2

Primeiro, anota kn=2pi nP= 2pi npi/2=4n . Logo
f(x) =a02 +sumn=1^inftyl[ancos(4n x)+bnsin(4n x)r]
Então a série em é

Passo 3

Calcula a0=2Pintegral0^Pcos x,dx =2(pi/2)l[sin xr]0^pi/2 =4picdot1 =4pi, :
portanto .

Passo 4

Agora an=2Pintegral0^Pcos xcos(4n x),dx =4piintegral0^pi/2cos xcos(4n x),dx :
integral0^pi/2cos xcos(4n x),dx =12integral0^pi/2l[cos((4n-1)x)+cos((4n+1)x)r]dx
Usando a identidade
an=2pi,l(14n+1-14n-1r) ,
Integra cada cosseno e avalia em e . Depois de simplificar dá

Passo 5

E bn=2Pintegral0^Pcos xsin(4n x),dx =4piintegral0^pi/2cos xsin(4n x),dx :
bn=2pi,l(14n+1+14n-1r)
Com e integrando, chega-se a

Passo 6

Como a onda se propaga pra direita com velocidade , a gente troca por . Então a expressão final da onda é:

Resposta

[
\boxed{
y(x,t)

\frac{2}{\pi}
+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{\pi}!\Bigl[\bigl(\tfrac1{4n+1}-\tfrac1{4n-1}\bigr)\cos\bigl(4n(x-vt)\bigr)
+\bigl(\tfrac1{4n+1}+\tfrac1{4n-1}\bigr)\sin\bigl(4n(x-vt)\bigr)\Bigr]
}.
]

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