Uma onda unidimensional periódica, de período espacial
, que se propaga para à direita é tal que, em
, é dada por
para
. Encontre uma expressão para a onda em série de Fourier.
Passo 1
Beleza, vamos lá: o enunciado diz que temos uma onda unidimensional, com período espacial
, que em
vale
e que se propaga para a direita (ou seja,
).
O conteúdo aqui é série de Fourier de funções periódicas. Para resolver, a gente vai precisar:
O conteúdo aqui é série de Fourier de funções periódicas. Para resolver, a gente vai precisar:
- Saber que numa função de período
dá para escrever
com
.
2) As fórmulas dos coeficientes
2) As fórmulas dos coeficientes
e identidade produto-para-soma pra resolver as integrais sem pular etapa.
Passo 2
Primeiro, anota
. Logo
Então a série em
é
Passo 3
Calcula
:
portanto
.
Passo 4
Agora
:
Usando a identidade
,
Integra cada cosseno e avalia em
e
. Depois de simplificar dá
Passo 5
E
:
Com
e integrando, chega-se a
Passo 6
Como a onda se propaga pra direita com velocidade
, a gente troca
por
. Então a expressão final da onda é:
Resposta
[
\boxed{
y(x,t)
\frac{2}{\pi}
+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{\pi}!\Bigl[\bigl(\tfrac1{4n+1}-\tfrac1{4n-1}\bigr)\cos\bigl(4n(x-vt)\bigr)
+\bigl(\tfrac1{4n+1}+\tfrac1{4n-1}\bigr)\sin\bigl(4n(x-vt)\bigr)\Bigr]
}.
]
+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{\pi}!\Bigl[\bigl(\tfrac1{4n+1}-\tfrac1{4n-1}\bigr)\cos\bigl(4n(x-vt)\bigr)
+\bigl(\tfrac1{4n+1}+\tfrac1{4n-1}\bigr)\sin\bigl(4n(x-vt)\bigr)\Bigr]
}.
]