Moysés, cap. 3, pg. 69, Problema 15 - Um pêndulo físico é formado por uma barra delgada homogênea de comprimento l, suspensa por um ponto à distância s(<l / 2) de seu centro, oscilando num plano vertical. Para que valor de s o período de oscilação é mínimo? Quanto vale então?
Passo 1
O enunciado descreve um pêndulo físico formado por uma barra delgada homogênea de comprimento l, suspensa por um ponto que fica a uma distância s do centro da barra, com s<l/2. A barra oscila num plano vertical (pequenas oscilações). O que o problema pede:
Determinar o valor de s que minimiza o período de oscilação.
Calcular o valor do período para esse s.
Informações dadas que vamos usar:
comprimento da barra: l;
posição do pivô em relação ao centro: s, com 0<s<l/2;
barra homogênea (massa distribuída uniformemente);
pequenas oscilações (podemos linearizar as equações).
Passo 2
Vamos obter a fórmula do período para um pêndulo físico e explicar cada passo como se estivéssemos na prova.
Equação de movimento para pequenas oscilações (intuição e fórmula):
Para pequenas oscilações em torno do equilíbrio, o torque peso relativo ao pivô é aproximadamente linear em \theta (ângulo pequeno). O torque restaurador vale -m g s \,\theta, porque m é a massa total, g a aceleração da gravidade e s a distância do pivô ao centro de massa (o torque para pequenos \theta é -m g s \sin\theta \approx -m g s\,\theta).
A equação de movimento rotacional é
I\,\ddot{\theta} + m g s\,\theta = 0,
onde I é o momento de inércia da barra em relação ao pivô e \theta(t) é o pequena-ângulo.
Período a partir da equação harmônica:
A equação acima tem a forma de um oscilador harmônico com frequência angular \omega tal que \omega^2 = \dfrac{m g s}{I}. Assim o período é
T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\dfrac{I}{m g s}}.
Expliquei: I mede a resistência da barra a girar; m g s é a constante restauradora (torque por unidade de ângulo).
Momento de inércia da barra em relação ao pivô:
O momento de inércia da barra homogênea em torno do seu centro (eixo perpendicular à barra) é conhecido:
I_{\text{CM}} = \dfrac{1}{12} m l^2.
Aqui m é a massa total e l o comprimento.
Pelo teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner), o momento de inércia em torno de um eixo paralelo a esse e a uma distância s do centro é
I = I_{\text{CM}} + m s^2 = \dfrac{1}{12} m l^2 + m s^2.
Expliquei: somamos m s^2 porque deslocamos o eixo do centro para o pivô.
Substituindo I na fórmula do período:
Colocando I em T,
T(s) = 2\pi \sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{12} m l^2 + m s^2}{m g s}}.
Para s>0 isso é positivo, portanto o ponto crítico é um mínimo. Conferimos também que s=\dfrac{l}{2\sqrt{3}} < \dfrac{l}{2} (porque 1/(2\sqrt{3})\approx 0,289 < 0,5), então está dentro do intervalo permitido.
Passo 4
Agora calculamos o período mínimo correspondente.
Primeiro, calcule f(s) no ponto ótimo. Note que a partir de s^2 = l^2/12 segue que
\dfrac{l^2}{12 s} = s.
Então
f_{\min} = f\!\left(\dfrac{l}{\sqrt{12}}\right) = s + \dfrac{l^2}{12 s} = s + s = 2s.