Moysés, cap. 3, pg. 69, Problema 15 - Um pêndulo físico é formado por uma barra delgada homogênea de comprimento l, suspensa por um ponto à distância s(<l / 2) de seu centro, oscilando num plano vertical. Para que valor de s o período de oscilação é mínimo? Quanto vale então?

Passo 1

O enunciado descreve um pêndulo físico formado por uma barra delgada homogênea de comprimento l, suspensa por um ponto que fica a uma distância s do centro da barra, com s<l/2. A barra oscila num plano vertical (pequenas oscilações). O que o problema pede:
  • Determinar o valor de s que minimiza o período de oscilação.
  • Calcular o valor do período para esse s.
Informações dadas que vamos usar:
  • comprimento da barra: l;
  • posição do pivô em relação ao centro: s, com 0<s<l/2;
  • barra homogênea (massa distribuída uniformemente);
  • pequenas oscilações (podemos linearizar as equações).

Passo 2

Vamos obter a fórmula do período para um pêndulo físico e explicar cada passo como se estivéssemos na prova.
  1. Equação de movimento para pequenas oscilações (intuição e fórmula):
  • Para pequenas oscilações em torno do equilíbrio, o torque peso relativo ao pivô é aproximadamente linear em \theta (ângulo pequeno). O torque restaurador vale -m g s \,\theta, porque m é a massa total, g a aceleração da gravidade e s a distância do pivô ao centro de massa (o torque para pequenos \theta é -m g s \sin\theta \approx -m g s\,\theta).
  • A equação de movimento rotacional é
I\,\ddot{\theta} + m g s\,\theta = 0,
onde I é o momento de inércia da barra em relação ao pivô e \theta(t) é o pequena-ângulo.
  1. Período a partir da equação harmônica:
  • A equação acima tem a forma de um oscilador harmônico com frequência angular \omega tal que \omega^2 = \dfrac{m g s}{I}. Assim o período é
T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\dfrac{I}{m g s}}.
Expliquei: I mede a resistência da barra a girar; m g s é a constante restauradora (torque por unidade de ângulo).
  1. Momento de inércia da barra em relação ao pivô:
  • O momento de inércia da barra homogênea em torno do seu centro (eixo perpendicular à barra) é conhecido:
I_{\text{CM}} = \dfrac{1}{12} m l^2.
Aqui m é a massa total e l o comprimento.
  • Pelo teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner), o momento de inércia em torno de um eixo paralelo a esse e a uma distância s do centro é
I = I_{\text{CM}} + m s^2 = \dfrac{1}{12} m l^2 + m s^2.
Expliquei: somamos m s^2 porque deslocamos o eixo do centro para o pivô.
  1. Substituindo I na fórmula do período:
  • Colocando I em T,
T(s) = 2\pi \sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{12} m l^2 + m s^2}{m g s}}.
  • Simplificando m (cancela),
T(s) = 2\pi \sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{12} l^2 + s^2}{g s}}.
Todas as variáveis estão claras: l e g dados, s é a variável que podemos escolher.

Passo 3

Para minimizar T(s) é mais simples minimizar T(s)^2 (monótono em T). Definimos uma função auxiliar sem o fator constante:
T(s)^2 = 4\pi^2 \cdot \dfrac{\dfrac{1}{12} l^2 + s^2}{g s}.
Como 4\pi^2/g é constante, minimizar T^2 equivale a minimizar
f(s) := \dfrac{\dfrac{1}{12} l^2 + s^2}{s}.
Simplificando f(s):
f(s) = s + \dfrac{l^2}{12 s}.
Agora derivamos f(s) para encontrar extremos (lembrando que s>0).
Calcule a derivada:
f'(s) = 1 - \dfrac{l^2}{12 s^2}.
Colocamos f'(s)=0 para achar pontos críticos:
1 - \dfrac{l^2}{12 s^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{l^2}{12 s^2} = 1.
Isolando s^2:
s^2 = \dfrac{l^2}{12}.
Tomando raiz positiva (porque s>0):
s = \dfrac{l}{\sqrt{12}} = \dfrac{l}{2\sqrt{3}}.
Verificação de mínimo (segunda derivada):
f''(s) = \dfrac{2 l^2}{12 s^3} = \dfrac{l^2}{6 s^3}.
Para s>0 isso é positivo, portanto o ponto crítico é um mínimo. Conferimos também que s=\dfrac{l}{2\sqrt{3}} < \dfrac{l}{2} (porque 1/(2\sqrt{3})\approx 0,289 < 0,5), então está dentro do intervalo permitido.

Passo 4

Agora calculamos o período mínimo correspondente.
  1. Primeiro, calcule f(s) no ponto ótimo. Note que a partir de s^2 = l^2/12 segue que
\dfrac{l^2}{12 s} = s.
Então
f_{\min} = f\!\left(\dfrac{l}{\sqrt{12}}\right) = s + \dfrac{l^2}{12 s} = s + s = 2s.
Substituindo s = \dfrac{l}{\sqrt{12}},
f_{\min} = 2 \cdot \dfrac{l}{\sqrt{12}} = \dfrac{2l}{2\sqrt{3}} = \dfrac{l}{\sqrt{3}}.
(cento de contas: \sqrt{12}=2\sqrt{3}, por isso simplifica).
  1. Então o período mínimo é
T_{\min} = 2\pi \sqrt{\dfrac{f_{\min}}{g}} = 2\pi \sqrt{\dfrac{l}{g\sqrt{3}}}.
Podemos também escrever de outra forma:
T_{\min} = 2\pi \left(\dfrac{l}{g}\right)^{1/2} 3^{-1/4},
mas a forma \;2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g\sqrt{3}}}\; é mais direta.

Resposta

s=\dfrac{l}{2\sqrt{3}}\n T_{\min}=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g\sqrt{3}}}

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