Questão 2) Duas placas paralelas infinitas possuem uma distância d entre elas. O plano da placa inferior possui uma densidade superficial de carga \sigma uniforme e positiva, e plano da placa superior possui uma densidade superficial de carga também uniforme e dada por -\sigma. Prove que entre as placas o módulo do campo elétrico é \sigma / \epsilon_{0} e que na região acima ou abaixo das duas placas é nulo.

Passo 1

O enunciado dá duas placas paralelas infinitas separadas por uma distância d. A placa inferior tem densidade superficial de carga uniforme e positiva \sigma. A placa superior tem densidade superficial de carga uniforme e negativa -\sigma. O que se pede: mostrar que o módulo do campo elétrico entre as placas é \sigma/\epsilon_{0} e que nas regiões acima de ambas as placas e abaixo de ambas as placas o campo é nulo. Vou anotar também as informações relevantes que temos: \sigma (densidade superficial), distância entre placas d, placas tratadas como infinitas (logo há simetria de translação e o campo só pode depender da distância normal às placas) e o sinal das cargas (uma positiva, outra negativa).

Passo 2

Intuição e simetria (explicação didática): por causa das placas infinitas e uniformes, o campo elétrico gerado por cada placa individualmente deve ser perpendicular às placas e com o mesmo módulo em qualquer ponto que esteja a uma dada distância da placa — na prática, para uma placa infinita o campo é uniforme e normal à placa. Isso decorre da simetria: não há preferências em direções paralelas à placa, então o campo não pode ter componente paralela; só pode ter componente normal. Essa observação nos permite usar uma superfície de Gauss simples (uma “caixinha” ou “pilha” cilíndrica achatada) para calcular o campo de uma placa isolada.

Passo 3

Cálculo do campo gerado por uma placa infinita com densidade superficial \sigma (derivação usando Lei de Gauss). Apresento a Lei de Gauss em forma integral e explico cada termo: a Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida por \epsilon_{0}:
\oint_{\text{superf}} \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_{0}}.
Aqui \vec{E} é o campo elétrico, d\vec{A} é o elemento de área vetorial (normal apontando para fora da superfície fechada) e Q_{\text{int}} é a carga total contida na superfície gaussiana. Vou aplicar essa lei a uma placa única infinita com densidade \sigma.

Passo 4

Escolha da superfície de Gauss e cálculo do fluxo para a placa única. Considere uma placa plana infinita no plano z=0 com densidade superficial \sigma. Escolho uma caixa cilíndrica (um “pílula”) que cruza a placa: dois discos planos de área A (um acima da placa e outro abaixo) ligados pelas faces laterais. Por simetria o campo é perpendicular à placa e tem módulo constante em cada face plana da pílula; nas faces laterais o campo é paralelo à superfície lateral (pois campo é normal à placa), então o fluxo pelas laterais é zero. Assim o fluxo total é a soma dos fluxos pelas duas faces planas:
\Phi = E\cdot A + E\cdot A = 2EA,
onde E é o módulo do campo em cada face plana (assumi que o mesmo em cima e embaixo por simetria de magnitude; o sinal do vetor dependerá do lado). A carga contida na pílula é Q_{\text{int}}=\sigma A. Aplicando Gauss:
2EA=\frac{\sigma A}{\epsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E=\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}.
Portanto, o campo gerado por uma placa infinita uniformemente carregada tem módulo \sigma/(2\epsilon_{0}). Observação sobre direção: se a placa tem carga positiva ( +\sigma), o campo aponta para fora da placa (ou seja, para longe da placa) em ambos os lados; se a placa tem carga negativa ( -\sigma), o campo aponta para a placa (para dentro), em ambos os lados.

Passo 5

Campo produzido por cada uma das placas do enunciado separadamente. Usando o resultado do passo anterior:
  • A placa inferior com densidade \sigma gera um campo de módulo \dfrac{\sigma}{2\epsilon_{0}} apontando para longe da placa. Se tomarmos a coordenada normal z com a placa inferior em z=0 e a placa superior em z=d, então a placa inferior produz: para z>0 (região entre as placas) um campo apontando na direção +z; para z<0 (abaixo da placa) um campo apontando na direção -z.
  • A placa superior com densidade -\sigma gera um campo de módulo \dfrac{\sigma}{2\epsilon_{0}} apontando para a placa (lembrando o sinal): para z<d (região entre as placas) o campo gerado por essa placa aponta na direção +z (porque aponta para baixo, isto é, em direção à placa superior, então em pontos abaixo dela aponta para cima — signo +z); para z>d (acima da placa superior) o campo por essa placa aponta na direção -z.
Aqui estou explicitando direções para o caso geométrico com a placa inferior em z=0 e a superior em z=d.

Passo 6

Superposição linear dos campos (princípio da superposição) e cálculo entre as placas. O campo total é a soma vetorial dos campos gerados por cada placa. Na região entre as placas (ou seja, 0<z<d) as direções dos campos de cada placa são as mesmas (ambos apontam para +z, conforme explicado no passo anterior). Então os módulos se somam:
E_{\text{total, entre}}=\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}+\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}=\frac{\sigma}{\epsilon_{0}}.
Assim, entre as placas o módulo do campo elétrico é \dfrac{\sigma}{\epsilon_{0}}. Em sentido vetorial, o campo aponta do lado positivo para o lado negativo, isto é, da placa de +\sigma em direção à placa de -\sigma (no nosso sistema: direção +z).

Passo 7

Cálculo nas regiões fora das placas (acima de ambas e abaixo de ambas). Primeiro, região acima das duas placas ( z>d). Lá:
  • O campo da placa inferior ( +\sigma) aponta para longe da placa, isto é, para cima ( +z).
  • O campo da placa superior ( -\sigma) aponta para a placa (ou seja, para baixo, -z) — mesmo módulo \sigma/(2\epsilon_0).
    Como os módulos são iguais e as direções são opostas, eles se cancelam:
E_{\text{total, acima}}=\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}-\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}=0.
Agora, região abaixo das duas placas ( z<0). Lá:
  • O campo da placa inferior ( +\sigma) aponta para longe da placa, isto é, para baixo ( -z).
  • O campo da placa superior ( -\sigma) aponta para a placa (ou seja, para cima, +z) no ponto abaixo das placas.
    De novo os módulos são iguais e as direções opostas, resultando em cancelamento:
E_{\text{total, abaixo}}=-\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}+\frac{\sigma}{2\epsilon_{0}}=0.
Portanto, fora do conjunto das duas placas o campo resultante é nulo.

Passo 8

Verificação alternativa (checada por Gauss para o par de placas): se considerarmos uma superfície de Gauss que envolve ambas as placas (por exemplo, uma caixa que contenha as duas placas entre suas faces), a carga total encerrada é zero ( +\sigma A da placa inferior e -\sigma A da placa superior), então o fluxo total é zero. Pela simetria e pelo fato de querermos um campo que, longe do par, tenha a mesma magnitude nas duas faces externas, isso implica que o campo fora deve ser zero. Essa é uma consistência útil com o cálculo por superposição.

Resposta

Entre as placas: \dfrac{\sigma}{\epsilon_{0}} (módulo), apontando do +\sigma para o -\sigma.\nAcima ou abaixo das duas placas: 0.

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