Questão 2) Duas placas paralelas infinitas possuem uma distância
entre elas. O plano da placa inferior possui uma densidade superficial de carga
uniforme e positiva, e plano da placa superior possui uma densidade superficial de carga também uniforme e dada por
. Prove que entre as placas o módulo do campo elétrico é
e que na região acima ou abaixo das duas placas é nulo.
Passo 1
O enunciado dá duas placas paralelas infinitas separadas por uma distância
. A placa inferior tem densidade superficial de carga uniforme e positiva
. A placa superior tem densidade superficial de carga uniforme e negativa
. O que se pede: mostrar que o módulo do campo elétrico entre as placas é
e que nas regiões acima de ambas as placas e abaixo de ambas as placas o campo é nulo. Vou anotar também as informações relevantes que temos:
(densidade superficial), distância entre placas
, placas tratadas como infinitas (logo há simetria de translação e o campo só pode depender da distância normal às placas) e o sinal das cargas (uma positiva, outra negativa).
Passo 2
Intuição e simetria (explicação didática): por causa das placas infinitas e uniformes, o campo elétrico gerado por cada placa individualmente deve ser perpendicular às placas e com o mesmo módulo em qualquer ponto que esteja a uma dada distância da placa — na prática, para uma placa infinita o campo é uniforme e normal à placa. Isso decorre da simetria: não há preferências em direções paralelas à placa, então o campo não pode ter componente paralela; só pode ter componente normal. Essa observação nos permite usar uma superfície de Gauss simples (uma “caixinha” ou “pilha” cilíndrica achatada) para calcular o campo de uma placa isolada.
Passo 3
Cálculo do campo gerado por uma placa infinita com densidade superficial
(derivação usando Lei de Gauss). Apresento a Lei de Gauss em forma integral e explico cada termo: a Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida por
:
Aqui
é o campo elétrico,
é o elemento de área vetorial (normal apontando para fora da superfície fechada) e
é a carga total contida na superfície gaussiana. Vou aplicar essa lei a uma placa única infinita com densidade
.
Passo 4
Escolha da superfície de Gauss e cálculo do fluxo para a placa única. Considere uma placa plana infinita no plano
com densidade superficial
. Escolho uma caixa cilíndrica (um “pílula”) que cruza a placa: dois discos planos de área
(um acima da placa e outro abaixo) ligados pelas faces laterais. Por simetria o campo é perpendicular à placa e tem módulo constante em cada face plana da pílula; nas faces laterais o campo é paralelo à superfície lateral (pois campo é normal à placa), então o fluxo pelas laterais é zero. Assim o fluxo total é a soma dos fluxos pelas duas faces planas:
onde
é o módulo do campo em cada face plana (assumi que o mesmo em cima e embaixo por simetria de magnitude; o sinal do vetor dependerá do lado). A carga contida na pílula é
. Aplicando Gauss:
Portanto, o campo gerado por uma placa infinita uniformemente carregada tem módulo
. Observação sobre direção: se a placa tem carga positiva (
), o campo aponta para fora da placa (ou seja, para longe da placa) em ambos os lados; se a placa tem carga negativa (
), o campo aponta para a placa (para dentro), em ambos os lados.
Passo 5
Campo produzido por cada uma das placas do enunciado separadamente. Usando o resultado do passo anterior:
- A placa inferior com densidade
gera um campo de módulo apontando para longe da placa. Se tomarmos a coordenada normal com a placa inferior em e a placa superior em , então a placa inferior produz: para (região entre as placas) um campo apontando na direção ; para (abaixo da placa) um campo apontando na direção . - A placa superior com densidade
gera um campo de módulo apontando para a placa (lembrando o sinal): para (região entre as placas) o campo gerado por essa placa aponta na direção (porque aponta para baixo, isto é, em direção à placa superior, então em pontos abaixo dela aponta para cima — signo +z); para (acima da placa superior) o campo por essa placa aponta na direção .
Aqui estou explicitando direções para o caso geométrico com a placa inferior em
e a superior em
.
Passo 6
Superposição linear dos campos (princípio da superposição) e cálculo entre as placas. O campo total é a soma vetorial dos campos gerados por cada placa. Na região entre as placas (ou seja,
) as direções dos campos de cada placa são as mesmas (ambos apontam para
, conforme explicado no passo anterior). Então os módulos se somam:
Assim, entre as placas o módulo do campo elétrico é
. Em sentido vetorial, o campo aponta do lado positivo para o lado negativo, isto é, da placa de
em direção à placa de
(no nosso sistema: direção
).
Passo 7
Cálculo nas regiões fora das placas (acima de ambas e abaixo de ambas). Primeiro, região acima das duas placas (
). Lá:
- O campo da placa inferior (
) aponta para longe da placa, isto é, para cima ( ). - O campo da placa superior (
) aponta para a placa (ou seja, para baixo, ) — mesmo módulo .
Como os módulos são iguais e as direções são opostas, eles se cancelam:
Agora, região abaixo das duas placas (
). Lá:
- O campo da placa inferior (
) aponta para longe da placa, isto é, para baixo ( ). - O campo da placa superior (
) aponta para a placa (ou seja, para cima, ) no ponto abaixo das placas.
De novo os módulos são iguais e as direções opostas, resultando em cancelamento:
Portanto, fora do conjunto das duas placas o campo resultante é nulo.
Passo 8
Verificação alternativa (checada por Gauss para o par de placas): se considerarmos uma superfície de Gauss que envolve ambas as placas (por exemplo, uma caixa que contenha as duas placas entre suas faces), a carga total encerrada é zero (
da placa inferior e
da placa superior), então o fluxo total é zero. Pela simetria e pelo fato de querermos um campo que, longe do par, tenha a mesma magnitude nas duas faces externas, isso implica que o campo fora deve ser zero. Essa é uma consistência útil com o cálculo por superposição.
Resposta
Entre as placas:
(módulo), apontando do
para o
.\nAcima ou abaixo das duas placas:
.