Mostre, por meio da definição de limite de sequência que, se com converge ou não.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a sequência $ x_n = \frac{2n}{2n + 1} $ e precisamos mostrar, usando a definição de limite de uma sequência, se essa sequência converge ou não. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e a definição formal do limite, que envolve o uso de .
Passo 2
Primeiro, vamos tentar entender para onde a sequência $ x_n $ está indo conforme $ n $ cresce. Olhando para a expressão $ \frac{2n}{2n + 1} $, percebemos que tanto o numerador quanto o denominador crescem com $ n $, mas o denominador sempre é um pouco maior que o numerador.
Passo 3
Para encontrar o limite, dividimos numerador e denominador por $ n $:
Agora, conforme $ n $ tende ao infinito, $ \frac{1}{n} $ tende a 0. Então:
Portanto, parece que a sequência converge para 1.
Passo 4
Mas, para confirmar isso usando a definição de limite, precisamos mostrar que para todo , existe um tal que para todo , a diferença entre e 1 seja menor que .
Ou seja, queremos que:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto: