Mostre, por meio da definição de limite de sequência que, se (xn)n in N com xn=2 n2 n+1 converge ou não.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a sequência $ x_n = \frac{2n}{2n + 1} $ e precisamos mostrar, usando a definição de limite de uma sequência, se essa sequência converge ou não. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e a definição formal do limite, que envolve o uso de xn = 2n2n + 1 .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar entender para onde a sequência $ x_n $ está indo conforme $ n $ cresce. Olhando para a expressão $ \frac{2n}{2n + 1} $, percebemos que tanto o numerador quanto o denominador crescem com $ n $, mas o denominador sempre é um pouco maior que o numerador.

Passo 3

Para encontrar o limite, dividimos numerador e denominador por $ n $:
n
Agora, conforme $ n $ tende ao infinito, $ \frac{1}{n} $ tende a 0. Então:
xn = 2n2n + 1 = 22 + 1n
Portanto, parece que a sequência converge para 1.

Passo 4

Mas, para confirmar isso usando a definição de limite, precisamos mostrar que para todo epsilon > 0, existe um N tal que para todo n >= N, a diferença entre xn e 1 seja menor que epsilon.
Ou seja, queremos que:
| 2n2n + 1 - 1 | < epsilon

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
| 2n2n + 1 - 1 | = | 2n - (2n + 1)2n + 1 | = | -12n + 1 | = 12n + 1
Então, queremos que:
12n + 1 < epsilon

Passo 6

Para resolver essa desigualdade, invertemos os dois lados (lembrando que $ \epsilon > 0 $):
epsilon > 0
Subtraindo 1:
2n + 1 > 1epsilon
Dividindo por 2:
2n > 1epsilon - 1
Portanto, podemos escolher:
n > 12epsilon - 12
onde N = lceil 12epsilon - 12 rceil representa o menor número inteiro maior ou igual ao valor dentro.

Passo 7

Assim, para todo n >= N, temos:
| 2n2n + 1 - 1 | < epsilon
Isso satisfaz a definição de limite, mostrando que a sequência $ x_n $ converge para 1.

Resposta

A sequência $ \left( x_n \right)_{n \in \mathbb{N}} $, onde $ x_n = \frac{2n}{2n + 1} $, converge para o limite 1.

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