Qual a mudança de parâmetro t=g(\tau) você faria se desejasse traçar o gráfico \mathbf{r}(t), ( 0 \leq t \leq 1 ) no sentido oposto \operatorname{com} \tau variando de 0 a 1 ?

Passo 1

Temos uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t) com 0\le t\le1 e queremos reparametrizá-la de modo que, ao invés de ir de t=0 para t=1, ela vá de t=1 para t=0 enquanto o novo parâmetro \tau varia de 0 a 1. O conteúdo aqui é simplesmente a reversão da orientação de uma parametrização.

Passo 2

Para inverter o sentido, basta escolher uma função g tal que
g(0)=1 \quad\text{e}\quad g(1)=0
e que seja monótona decrescente em [0,1]. A escolha mais simples é uma função afim do tipo
t = g(\tau) = 1 - \tau.
Com isso, quando \tau vai de 0 a 1, t vai de 1 a 0, fazendo a curva andar no sentido oposto.

Resposta

A reparametrização desejada é
t = g(\tau) = 1 - \tau,\quad 0\le\tau\le1.

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