Seja a função g(x, y)=\left\{\begin{aligned} \frac{x^{2}-x y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{aligned}\right.)
a) Determine \frac{\partial g}{\partial x}(x, y) e \frac{\partial g}{\partial y}(x, y) fora da origem, ou seja, (x, y) \neq(0,0).
b) Determine \frac{\partial g}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial g}{\partial y}(0,0), caso existam.

Passo 1

O enunciado define a função
g(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}-xy}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\[1em] 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede (a) as derivadas parciais \frac{\partial g}{\partial x} e \frac{\partial g}{\partial y} para (x,y)\neq(0,0) (vai dar para usar a regra do quociente) e (b) as derivadas parciais na origem via definição de limite.]

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) definimos
N(x,y)=x^{2}-xy,\quad D(x,y)=x^{2}+y^{2},
então
\frac{\partial g}{\partial x} =\frac{N_x\,D - N\,D_x}{D^{2}} =\frac{(2x-y)(x^{2}+y^{2})-2x(x^{2}-xy)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Expandindo e simplificando,
(2x-y)(x^{2}+y^{2})-2x(x^{2}-xy) = x^{2}y+2xy^{2}-y^{3} = y\bigl(x^{2}+2xy-y^{2}\bigr).
Logo, para (x,y)\neq(0,0)
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y) =\frac{y\bigl(x^{2}+2xy-y^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 3

De modo análogo,
N_y=-x,\quad D_y=2y,
\frac{\partial g}{\partial y} =\frac{-x(x^{2}+y^{2})-2y(x^{2}-xy)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{-x\bigl(x^{2}+2xy-y^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 4

Para a derivada em x na origem usamos
\frac{\partial g}{\partial x}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{g(h,0)-g(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{1-0}{h}
pois g(h,0)=\frac{h^{2}-h\cdot0}{h^{2}+0}=1. Esse limite não existe (vai para +\infty ou -\infty).

Passo 5

Para a derivada em y na origem usamos
\frac{\partial g}{\partial y}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{g(0,h)-g(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0,
pois g(0,h)=0 para h\neq0.

Resposta

(a) Para (x,y)\neq(0,0):
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y) =\frac{y\bigl(x^{2}+2xy-y^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}, \quad \frac{\partial g}{\partial y}(x,y) =\frac{-x\bigl(x^{2}+2xy-y^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
(b) Na origem não existe \frac{\partial g}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial g}{\partial y}(0,0)=0.

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