Calcule:
A integral \oint_{C} x^{2} y d x-y^{2} x d y,onde C é a circunferência x^{2}+y^{2}=4

Passo 1

O enunciado pede a linha integral
\oint_{C} x^{2}y\,dx \;-\; y^{2}x\,dy
ao longo da circunferência C\colon x^{2}+y^{2}=4, orientada positivamente (anti-horário). Vamos usar o Teorema de Green, que converte essa integral de linha numa integral dupla sobre o disco interno a C.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=x^{2}y, \qquad Q(x,y)=-\,y^{2}x.
Pelo Teorema de Green,
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)dA,
onde D é o disco de raio 2.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-y^{2}x\bigr) =-\,y^{2},
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y\bigr) =x^{2}.
Logo, o integrando fica
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =-\,y^{2}-x^{2} =-\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).

Passo 4

Montamos a integral dupla em coordenadas polares, onde x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e dA=r\,dr\,d\theta. Como x^{2}+y^{2}=r^{2}, temos
\iint_{D}-\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA =-\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}r^{2}\,(r\,dr)\,d\theta =-\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{2}r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calculamos a integral em r e em seguida em \theta:
\int_{0}^{2}r^{3}\,dr =\biggl[\frac{r^{4}}{4}\biggr]_{0}^{2} =\frac{16}{4}=4,
\int_{0}^{2\pi}4\,d\theta =4\cdot2\pi=8\pi.
Como havia sinal negativo na frente, o resultado final é -8\pi.

Resposta

-8\pi

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