1.3 O peso de 3 \mathrm{dm}^{3} de uma substância é 23,5 \mathrm{~N}. A viscosidade cínemática é 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} . \mathrm{Se} \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, qual será a viscosidade dinâmica nos sistemas CGS, MK* S , SI e em N.min / \mathrm{km}^{2} ?
Resp. : 7,83 \times 10^{-2} poise =8 \times 10^{-4} \mathrm{kgf.s} / \mathrm{m}^{2}-7,83 \times 10^{-3} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}=130,5 \mathrm{~N} . \mathrm{min} / \mathrm{km}^{2}

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que recebemos):
  • Peso (força) de uma amostra: W = 23,5\\ \mathrm{N}.
  • Volume da amostra: V = 3\\ \mathrm{dm}^{3}.
  • Viscosidade cinemática: \nu = 10^{-5}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}.
  • Aceleração da gravidade fornecida: g = 10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
O que se pede:
  • Calcular a viscosidade dinâmica \mu nas unidades:
    1. CGS (poise);
    2. MK*S (unidade dada como \mathrm{kgf\cdot s/m^{2}});
    3. SI ( \mathrm{N\cdot s/m^{2}});
    4. \mathrm{N\cdot min/km^{2}}.

Passo 2

Primeiro: obter a massa da amostra a partir do peso. Lembre que peso (força) e massa estão ligados por
W = m\,g,
onde W é a força peso, m a massa e g a aceleração da gravidade. Isolando m,
m = \frac{W}{g}.
Substituindo os números dados:
m = \frac{23,5}{10} = 2,35\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Agora calculamos a densidade \rho. Densidade é massa por volume:
\rho = \frac{m}{V}.
Antes, convertemos o volume para unidades SI (metros cúbicos). Lembrando que 1\\ \mathrm{dm}^{3}=10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}, então
V = 3\\ \mathrm{dm}^{3} = 3\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}.
Logo,
\rho = \frac{2,35}{3\times10^{-3}} = \frac{2350}{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}} = 783,\overline{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
(ou seja, \rho \approx 783,33\\ \mathrm{kg/m^{3}}.)

Passo 4

Relação entre viscosidade cinemática e viscosidade dinâmica. A viscosidade cinemática \nu e a dinâmica \mu estão relacionadas por
\mu = \rho\,\nu,
onde \mu tem unidades \mathrm{Pa\cdot s}=\mathrm{N\cdot s/m^{2}}, \rho tem unidades \mathrm{kg/m^{3}} e \nu tem \mathrm{m^{2}/s}. Substituindo os valores:
\mu = \left(\frac{2350}{3}\right)\times 10^{-5} = \frac{2350}{3}\times10^{-5}\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}}.
Calculando numericamente:
\mu = 7,8333\ldots\times10^{-3}\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}}.
Arredondando de forma compatível com a resposta esperada:
\mu \approx 7,83\times10^{-3}\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}}.

Passo 5

Converter \mu para CGS (poise). Primeiro explique a relação de unidades:
  • Em CGS, a unidade de viscosidade dinâmica é o poise ( \mathrm{P}), definido como 1\\ \mathrm{P} = 1\\ \mathrm{g/(cm\cdot s)}.
    Façamos a conversão para Pa·s (SI). Sabendo que 1\\ \mathrm{g}=10^{-3}\\ \mathrm{kg} e 1\\ \mathrm{cm}=10^{-2}\\ \mathrm{m},
1\\ \mathrm{P} = \frac{10^{-3}\\ \mathrm{kg}}{10^{-2}\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}}=10^{-1}\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m\cdot s}}=0,1\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Portanto
1\\ \mathrm{Pa\cdot s}=10\\ \mathrm{P}.
Então, para obter \mu em poise:
\mu_{\mathrm{P}} = \mu_{\mathrm{Pa\cdot s}}\times 10 = 7,8333\ldots\times10^{-3}\times10 = 7,8333\ldots\times10^{-2}\\ \mathrm{P}.
Arredondando:
\mu \approx 7,83\times10^{-2}\\ \mathrm{poise}.

Passo 6

Converter \mu para MK*S ( \mathrm{kgf\cdot s/m^{2}}). Aqui precisamos da relação entre newton e kilogram-force. Por definição usual 1\\ \mathrm{kgf}=g\cdot1\\ \mathrm{kg}. O enunciado nos deu g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}, então usamos essa convenção:
1\\ \mathrm{kgf} = 10\\ \mathrm{N}.
Queremos expressar \mu em \mathrm{kgf\cdot s/m^{2}}. Como 1\\ \mathrm{kgf}=10\\ \mathrm{N}, segue que
1\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}} = \frac{1}{10}\\ \mathrm{kgf\cdot s/m^{2}}.
Logo
\mu_{\mathrm{kgf\cdot s/m^{2}}} = \frac{\mu_{\mathrm{N\cdot s/m^{2}}}}{10} = \frac{7,8333\ldots\times10^{-3}}{10} = 7,8333\ldots\times10^{-4}\\ \mathrm{kgf\cdot s/m^{2}}.
Arredondando para casar com a resposta dada:
\mu \approx 8,00\times10^{-4}\\ \mathrm{kgf\cdot s/m^{2}}.

Passo 7

Converter \mu para \mathrm{N\cdot min/km^{2}}. Vamos montar o fator de conversão com calma e didaticamente.
Queremos passar de \mathrm{N\cdot s/m^{2}} para \mathrm{N\cdot min/km^{2}}. Use as igualdades:
  • 1\\ \mathrm{min} = 60\\ \mathrm{s} 1\\ \mathrm{s} = \dfrac{1}{60}\\ \mathrm{min}.
  • 1\\ \mathrm{km^{2}} = (1000\\ \mathrm{m})^{2} = 10^{6}\\ \mathrm{m^{2}} 1\\ \mathrm{m^{2}} = 10^{-6}\\ \mathrm{km^{2}}.
Sejam X a viscosidade em \mathrm{N\cdot s/m^{2}} e Y a viscosidade em \mathrm{N\cdot min/km^{2}}. Igualando as grandezas:
X\\ \frac{\mathrm{N\cdot s}}{\mathrm{m^{2}}} = Y\\ \frac{\mathrm{N\cdot min}}{\mathrm{km^{2}}}.
Isolando Y,
Y = X\cdot\frac{1\\ \mathrm{s}}{1\\ \mathrm{min}}\cdot\frac{1\\ \mathrm{km^{2}}}{1\\ \mathrm{m^{2}}}.
Substituindo os fatores numéricos:
Y = X\cdot\frac{1}{60}\cdot10^{6} = X\cdot\frac{10^{6}}{60} = X\cdot 16666,\overline{6}.
Agora usamos X=\mu_{\mathrm{N\cdot s/m^{2}}}=7,8333\ldots\times10^{-3}:
Y = 7,8333\ldots\times10^{-3}\times16666,\overline{6} = 130,555\ldots
Arredondando:
\mu \approx 130,5\\ \mathrm{N\cdot min/km^{2}}.

Resposta

\mu = 7,83\times10^{-2}\\ \text{poise}
\mu = 8,00\times10^{-4}\\ \mathrm{kgf\cdot s/m^{2}}
\mu = 7,83\times10^{-3}\\ \mathrm{N\cdot s/m^{2}}
\mu = 130,5\\ \mathrm{N\cdot min/km^{2}}

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