(Múltipla escolha) Considere a equação diferencial:
y^prime prime+4 y^prime+4 y=0
Assinale a alternativa correta:
a) É uma EDO não linear de segunda ordem com coeficientes variáveis.
b) É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
c) É uma EDP de segunda ordem.
d) É uma EDO linear de primeira ordem.

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial aí: $ y’’ + 4y’ + 4y = 0 $. A matéria que vamos usar aqui é sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especialmente como identificar a ordem, se é linear ou não, e se os coeficientes são constantes ou variáveis. Vamos precisar entender esses conceitos para escolher a alternativa correta entre as opções dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir qual é a ordem dessa equação diferencial. A ordem de uma EDO é determinada pelo derivado de maior ordem presente na equação. Aqui temos $ y’’ $ que é a segunda derivada de $ y $. Então, essa é uma equação de segunda ordem.

Passo 3

Agora, precisamos ver se a equação é linear ou não linear. Uma EDO é linear se todas as potências de $ y $ e suas derivadas são 1 e se não há multiplicação entre elas. Na nossa equação $ y’’ + 4y’ + 4y = 0 $, não tem nenhum termo elevado ou multiplicado entre si, então ela é linear.

Passo 4

Vamos verificar se os coeficientes são constantes ou variáveis. Os coeficientes são os números que multiplicam as derivadas e o $ y $ na equação. Aqui, temos 4 multiplicando $ y’ $ e 4 multiplicando $ y $. Esses números são fixos, ou seja, coeficientes constantes.

Passo 5

Com base nas informações que coletamos:
  • É uma EDO de segunda ordem
  • É linear
  • Tem coeficientes constantes
Vamos ver as alternativas:
a) Não, porque ela é linear.
b) Sim, encaixa exatamente com o que descobrimos.
c) Não, porque EDP é equação diferencial parcial, e aqui é uma EDO.
d) Não, porque é de segunda ordem, não de primeira.

Resposta

A alternativa correta é a b) É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

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