Derive as funções abaixo:
y=ln (arctg(raizx))

Passo 1

A questão pede a derivada de y = ln(arctg(√x)). O conteúdo é derivadas de funções compostas, usando regra da cadeia, bem como as derivadas de ln(u), arctan(u) e √x.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia para y = ln(u) com u = arctg(√x):
y' = 1arctan(raizx) cdot ddxl[arctan(raizx)r]

Passo 3

Derivando arctan(raizx): seja v = √x. Sabemos que
ddv[arctan(v)] = 11+v^2
e aplicamos regra da cadeia em v = √x:
ddx[arctan(raizx)] = 11+(raizx)^2 cdot ddx[raizx]

Passo 4

Derivando raizx = x^1/2:
ddx[raizx] = 12raizx
Logo,
ddx[arctan(raizx)] = 11+x cdot 12raizx = 12raizx,(1+x)

Passo 5

Substituindo de volta em y’:
y' = 1arctan(raizx) cdot 12raizx,(1+x) = 12raizx,(1+x),arctan(raizx)

Resposta

y' = 12raizx,(1+x),arctan(raizx)

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