Múltipla escolha O fator de crescimento para f(x)=4 \cdot 3^{x} é
(a) 3
(b) 4
(c) 12
(d) 64
(e) 81

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x)=4\cdot 3^{x}\; e pergunta qual é o fator de crescimento entre as alternativas:
(a) \;3\; , (b) \;4\; , (c) \;12\; , (d) \;64\; , (e) \;81\;.
Informações relevantes fornecidas: o coeficiente multiplicativo fora da potência é \;4\; e a base da potência é \;3\;. A pergunta é: qual desses números representa o fator de crescimento de f.

Passo 2

Vamos entender o que é “fator de crescimento”. Para uma função exponencial na forma \;f(x)=a\cdot b^{x}\;:
  • \;a\; é o valor inicial (ou valor em \;x=0😉,
  • \;b\; é o fator de crescimento: ao aumentar \;x\; em 1, o valor de f é multiplicado por \;b\;.
    Em outras palavras, o fator de crescimento é o número que você multiplica por f(x) para obter f(x+1).

Passo 3

Mostrando isso por conta algébrica para a nossa função:
\frac{f(x+1)}{f(x)}=\frac{4\cdot 3^{\,x+1}}{4\cdot 3^{\,x}}.
Agora simplificamos cancelando o 4 e usando propriedades de potências:
\frac{4\cdot 3^{\,x+1}}{4\cdot 3^{\,x}}=\frac{3^{\,x}\cdot 3}{3^{\,x}}=3.
Portanto, ao aumentar \;x\; em 1, f é multiplicada por \;3\;. Logo o fator de crescimento é \;3\;.

Passo 4

Verificação numérica rápida para tornar mais concreto: \;f(0)=4\cdot 3^{0}=4 e \;f(1)=4\cdot 3^{1}=12. Note que \;f(1)=3\cdot f(0), confirmando que o fator é \;3\;. Comentário sobre opções erradas: \;4\; é o valor inicial \;f(0), \;12\; é f(1), \;64\; e \;81\; são confusões com potências diferentes, mas nenhuma é o fator de crescimento.

Passo 5

Portanto a alternativa correta é a que contém o número \;3\;.

Resposta

(a) 3

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