I-6 Encontre os valores extremos absolutos e locais da função no intervalo dado.
I. f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x+1, \quad[2,4]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os valores extremos absolutos e locais da função no intervalo dado. Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1.
  • O intervalo considerado é [2,4].
  • Queremos os extremos locais (se existirem) dentro do intervalo e os extremos absolutos no intervalo fechado [2,4].
  • Não há outras restrições explícitas.

Passo 2

Vamos encontrar os pontos candidatos a extremos. A ideia (passo a passo, sem pressa) é:
  1. calcular a derivada f'(x) (ela nos diz onde a função tem inclinação zero ou muda de crescimento/decrescimento),
  2. achar onde f'(x)=0 (pontos críticos),
  3. avaliar a função nesses pontos críticos que estejam em [2,4] e também nos extremos do intervalo x=2 e x=4, e
  4. comparar os valores para decidir máximos e mínimos absolutos; usar mudanças de sinal de f' ou f'' para classificar locais.
Primeiro calculemos a derivada usando a regra de potência: a derivada de x^n é n x^{n-1}.
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-6x^{2}+9x+1\bigr)=3x^{2}-12x+9.
Fatorando:
f'(x)=3\bigl(x^{2}-4x+3\bigr)=3(x-1)(x-3).

Passo 3

Os pontos críticos são as soluções de f'(x)=0. Então:
3(x-1)(x-3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=1 \text{ ou } x=3.
Só nos interessam pontos em [2,4]. O ponto x=1 está fora do intervalo, portanto o único ponto crítico interno é x=3.
Também verificamos se há pontos onde f' não existe — mas aqui f' é polinomial, existe para todo x, então não há outros candidatos.

Passo 4

Classificação do ponto crítico x=3 pelo teste da primeira derivada (sinal de f') — isso nos dá informação intuitiva sobre crescimento/decrescimento:
  • Em (2,3): escolha x=2{,}5. Como (2{,}5-1)>0 e (2{,}5-3)<0, temos f'(2{,}5)=3(+) \cdot (-) <0. Logo f está decrescendo em (2,3).
  • Em (3,4): escolha x=3{,}5. Como (3{,}5-1)>0 e (3{,}5-3)>0, temos f'(3{,}5)>0. Logo f está crescendo em (3,4).
Como f' muda de negativo para positivo ao passar por x=3, a função passa de decrescente para crescente — isso indica que x=3 é um mínimo local.
Para confirmar com o teste da segunda derivada (opcional mas didático): calculemos
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-12x+9\bigr)=6x-12.
Avalie em x=3:
f''(3)=6\cdot 3-12=18-12=6>0.
Como f''(3)>0, a concavidade é para cima em x=3, confirmando que x=3 é mínimo local.

Passo 5

Agora precisamos dos valores da função nos candidatos (pontos críticos internos e extremos do intervalo) para determinar os extremos absolutos. Calculemos:
  • Em x=2:
f(2)=2^{3}-6\cdot2^{2}+9\cdot2+1=8-24+18+1=3.
  • Em x=3:
f(3)=3^{3}-6\cdot3^{2}+9\cdot3+1=27-54+27+1=1.
  • Em x=4:
f(4)=4^{3}-6\cdot4^{2}+9\cdot4+1=64-96+36+1=5.

Passo 6

Comparando os valores obtidos:
f(2)=3,\qquad f(3)=1,\qquad f(4)=5.
  • O menor valor é 1 em x=3. Portanto o mínimo absoluto no intervalo [2,4] é f(3)=1.
  • O maior valor é 5 em x=4. Portanto o máximo absoluto no intervalo [2,4] é f(4)=5.

Passo 7

Classificação final dos extremos locais (considerando o domínio restrito [2,4]):
  • x=3 é mínimo local (e também mínimo absoluto no intervalo), como mostrado pela mudança de sinal de f' e por f''(3)>0.
  • Pontos finais podem ser extremos locais em relação ao domínio fechado. Observando f'(2) = 3(2-1)(2-3)=3\cdot1\cdot(-1)=-3<0, a função imediatamente à direita de 2 decresce, então f(2) é maior que pontos próximos à direita — isso faz de x=2 um máximo local relativo ao domínio [2,4] (mas não é máximo absoluto).
  • Observando f'(4)=3(4-1)(4-3)=3\cdot3\cdot1=9>0, a função está crescendo ao aproximar-se de 4 pela esquerda, então f(4) é maior que pontos próximos à esquerda — isso faz de x=4 também um máximo local relativo ao domínio (e neste caso é também o máximo absoluto do intervalo).
Resumo intuitivo: a função desce de x=2 até x=3 (chegando ao mínimo) e depois sobe até x=4; por isso ambos os extremos do intervalo ficam “no alto” em relação aos vizinhos internos.

Resposta

Máximo absoluto: f(4)=5
Mínimo absoluto: f(3)=1
Máximos locais: x=2 (com f(2)=3) e x=4 (com f(4)=5)
Mínimo local: x=3 (com f(3)=1)

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