I-6 Encontre os valores extremos absolutos e locais da função no intervalo dado.
I.
I.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os valores extremos absolutos e locais da função no intervalo dado. Informações fornecidas:
- A função é
. - O intervalo considerado é
. - Queremos os extremos locais (se existirem) dentro do intervalo e os extremos absolutos no intervalo fechado
. - Não há outras restrições explícitas.
Passo 2
Vamos encontrar os pontos candidatos a extremos. A ideia (passo a passo, sem pressa) é:
- calcular a derivada
(ela nos diz onde a função tem inclinação zero ou muda de crescimento/decrescimento), - achar onde
(pontos críticos), - avaliar a função nesses pontos críticos que estejam em
e também nos extremos do intervalo e , e - comparar os valores para decidir máximos e mínimos absolutos; usar mudanças de sinal de
ou para classificar locais.
Primeiro calculemos a derivada usando a regra de potência: a derivada de
é
.
Fatorando:
Passo 3
Os pontos críticos são as soluções de
. Então:
Só nos interessam pontos em
. O ponto
está fora do intervalo, portanto o único ponto crítico interno é
.
Também verificamos se há pontos onde não existe — mas aqui
é polinomial, existe para todo
, então não há outros candidatos.
Também verificamos se há pontos onde
Passo 4
Classificação do ponto crítico
pelo teste da primeira derivada (sinal de
) — isso nos dá informação intuitiva sobre crescimento/decrescimento:
- Em
: escolha . Como e , temos . Logo está decrescendo em . - Em
: escolha . Como e , temos . Logo está crescendo em .
Como
muda de negativo para positivo ao passar por
, a função passa de decrescente para crescente — isso indica que
é um mínimo local.
Para confirmar com o teste da segunda derivada (opcional mas didático): calculemos
Avalie em
:
Como
, a concavidade é para cima em
, confirmando que
é mínimo local.
Passo 5
Agora precisamos dos valores da função nos candidatos (pontos críticos internos e extremos do intervalo) para determinar os extremos absolutos. Calculemos:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Passo 6
Comparando os valores obtidos:
- O menor valor é
em . Portanto o mínimo absoluto no intervalo é . - O maior valor é
em . Portanto o máximo absoluto no intervalo é .
Passo 7
Classificação final dos extremos locais (considerando o domínio restrito
):
-
é mínimo local (e também mínimo absoluto no intervalo), como mostrado pela mudança de sinal de e por . - Pontos finais podem ser extremos locais em relação ao domínio fechado. Observando
, a função imediatamente à direita de decresce, então é maior que pontos próximos à direita — isso faz de um máximo local relativo ao domínio (mas não é máximo absoluto). - Observando
, a função está crescendo ao aproximar-se de pela esquerda, então é maior que pontos próximos à esquerda — isso faz de também um máximo local relativo ao domínio (e neste caso é também o máximo absoluto do intervalo).
Resumo intuitivo: a função desce de
até
(chegando ao mínimo) e depois sobe até
; por isso ambos os extremos do intervalo ficam “no alto” em relação aos vizinhos internos.
Resposta
Máximo absoluto:
Mínimo absoluto:
Máximos locais: (com
) e
(com
)
Mínimo local: (com
)
Mínimo absoluto:
Máximos locais:
Mínimo local: